آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

منطق ریاضی، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضی دو معنا مستفاد می شود.
۱- منطق ریاضی به معنای خاص كه در واقع باید ترجمه The logic of mathematic باشد چرا كه ریاضیات مانند هر علم دیگری از نظمهایی برخوردار است كه این نظمها تحت عنوان منطق می آید و منطق ریاضی به معنای خاص بررسی ریاضی این نظمها یا قواعد است.
۲- معنای عامی هم برای منطق ریاضی متصور است كه عبارت است از: استفاده از روشها و تكنیكهای ریاضی برای بررسی منطق. به این معنا كه منطق ریاضی یك علم كاربردی است و در مقوله ریاضیات كاربردی قرار می گیرد. بین دو معنای عام و خاصی كه مطرح شد یك رابطه واقعی عام و خاص نیز وجود دارد. كتاب «منطق ریاضی» ، كتابی به معنای خاص منطق ریاضی است. یعنی بررسی منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معنای عام. در واقع باید گفت كه معنای آن اخص است. یعنی كتابی است برای بررسی ریاضیات كلاسیك. شاید این سؤال پیش آید كه ریاضیات كلاسیك چیست؟ و مگر ریاضیات غیر كلاسیك نیز وجود دارد؟جواب این است كه با توجه به نوع نگرش فلسفی كه نسبت به اشیاء ریاضی و عالم ریاضی داریم ریاضیات غیر كلاسیك هم وجود دارد. به تسامح می توان گفت كه در ریاضیات كلاسیك شیوه هایی از استدلال و برهان وجود دارد كه در ریاضیات غیركلاسیك مجاز نیست. به ویژه برهان خلف به عنوان یك برهان كه در ریاضیات كلاسیك به كار می رود در ریاضیات غیر كلاسیك بر قرار نیست و قاعدتاً منطقی را می طلبد كه با منطق ریاضیات كلاسیك متفاوت است. در این منطق، ریاضیات ساختی اصل طرد شق ثالث یك اصل معتبر ریاضی نیست. بنابراین منطق ریاضیات ساختی و به عبارت معروفتر منطق شهود گرایانه اصول و قواعد كمتری از منطق كلاسیك را دارد.كتاب «منطق ریاضی» بسیار خاص است. یعنی عبارت است از: بررسی منطق ریاضیات كلاسیك. اما بین این معنای خاص و عام منطق ریاضی رابطه واقعی وجود دارد. به این معنا كه حتی در معنای خاص منطق ریاضی ویژگی عام معنایی هم در این مورد وجود دارد. یعنی این كه ما از تكنیكها و روشهای ریاضیات در بررسی تحقیق درباره ریاضیات سود می بریم. پس منطق ریاضی به دو وجه ریاضی است. نخست اینكه موضوع آن موضوع منطق ریاضی است، دوم اینكه روش آن ریاضی است. یعنی اینكه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضی، ما به موضوع منطق ریاضی می پردازیم. پس منطق ریاضی به معنای عام برای موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضی است و این نكته ای نسبتاً مهم است. ریاضی بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلی دقیق باشیم - و من اصرار به دقیق بودن آن دارم - این است كه وقتی می گوییم روش ریاضی است یعنی در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدی ما را مجاز می كند كه چه اعمالی را انجام دهیم و یا چه اعمالی را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت كنیم روش ریاضی همان علائم و نمادهایی است كه برای اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به كار می رود.بدیهی است كه هر چه این تكنیك ریاضی را در سطح بالاتری به كار بریم یعنی هر چه هزینه بیشتری بپردازیم چیز بهتری به دست می آوریم به همین دلیل است كه غالباً قضایای شگفت انگیز بنیان افكن علم ریاضی از تكنیكهای پیشرفته ای در اثبات برخوردار است و هر چه روش ریاضی را محدودتر كنیم طبعاً چیز كمتری به دست می آوریم. به معنای عام منطق ریاضی باز می گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً یك منطق وجود دارد و یا منطقهای مختلفی وجود دارند؟ آیا هر كدام از اینها روش خاص ریاضی را برای بحث می طلبد؟ فارغ از اینكه ما چه تعریفی برای منطق قائل باشیم شكی نیست كه نقطه آغازین منطق ریاضی ابداع زبان مناسب است و این پیشفرض علمی منطق ریاضی است كه منطق یا به عبارتی دیگر نظمهای تفكر در قالب زبان متجلی می شوند. بنابراین زبان، بحث فلسفی عمیقی را می طلبد. چیزی كه در قالب زبان نیاید در قلمرو كار منطق و ریاضی قرار نمی گیرد. این زبان، زبان طبیعی نیست گرچه با بررسی و تجزیه و تحلیل زبان طبیعی ساخته می شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صوری» می گوییم. در این زبان نمادهایی را به طور صوری ابداع می كنیم كه این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعی جدا می كند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمی شوند. این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعی و اجزای زبان طبیعی ساخته می شود. بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعی داریم مدل ریاضی بسازیم. به عبارتی دیگر این بخشی از كار منطق ریاضی است كه ما برای نحوی از زبان ابتدا مدل ریاضی می سازیم. اما مفاهیم دیگری مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیری در قلمرو معنا شناسی و دلالت شناسی قرار می گیرند. قسمت دوم كار، مدل سازی برای معنا شناسی یا دلالت شناسی زبان است. اما در منطق ریاضی بین نحو كلام یا زبان و یا معناشناسی زبان برای جلوگیری از هر نوع خلط احتمالی جدایی است. نحو در زبان صوری چیزی شبیه گرامر و دستور زبان است. یكی از مسائل اساسی كه در این مرحله در منطق ریاضی به آن توجه شده این است كه بین زبانی كه به عنوان شیء ساختیم و زبانی كه در آن درباره این شیء كه در زبان هست می خواهیم صحبت كنیم، تمایز اساسی وجود دارد. بنابراین هوشمندی در زبان جلوگیری از پارادوكسهایی است كه در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشی از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانی بود مثل عبارت پارادوكس دروغگو. یكی از مفاهیمی كه به نوعی مشترك در زبان شناسی، فلسفه و منطق است و شاید یكی از مفاهیم بسیار اساسی باشد مفهوم «معناداری» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ كدام از این سه شاخه تا كنون قادر به ارائه یك مدل از آن نشده اند. در این زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسی كه در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است كه در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یكی دیگر از علایق اساسی منطق ریاضی رابطه این دو است. اینكه ما در نحو زبان مفاهیمی داریم و آنها را ابداع كردیم و همین طور در دلالت شناسی زبان مفاهیمی را مدل سازی ریاضی كردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسی منطق است. اینكه آیا در یك دستگاه منطقی گزاره ای مثل E اثبات یا استنتاج شود كاملاً یك مفهوم نحوی است كه چگونه یك جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید كنید. تولید كاملاً یك مفهوم مبتنی بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید كه آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یك مفهوم معنایی است اینكه خارج از زبان بین این دو چه رابطه ای وجود دارد و بررسی رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتی بررسی منطق ریاضی است. تدوین منطق ریاضی اساساً كار سختی است ولی می توان گفت بین سالهای ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰ این كار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین كسی كه این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینكه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضی چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر من كاخ عظیم منطق ریاضی را ارسطو ساخته است. این كاخ چنان مستحكم بود كه حداقل تا ۱۸۷۹ وقتی كه فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلی كه نسبت به زبان آغاز كرد از منطق دگرگون كرد. منطق ارسطویی، تحلیلی را از اجزای جمله شروع می كند كه مبتنی بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون كرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه نمود. بدین ترتیب مفهومی ریاضی وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه كارهای دیگری هم انجام داد كه بنیاد منطق ریاضی جدید مبتنی بر كارهای فرگه است. سومین كسی كه كار انقلابی در منطق كرد اما مبتنی بر كارهای فرگه بود گودل است. او در حوالی سالهای ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایای تمامیت و قضایای نا تمامیت را ارائه كرد. قضیه تمامیت باز می گردد به همان مفهوم و سؤالی كه من در رابطه نحو و معناشناسی مطرح كردم. آیا در یك دستگاه منطقی یك حكم یا یك گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعكس در حكمی كه صادق است هر معنایی در همه جهانهای ممكن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگی داشته باشد نشان دهنده این است كه این دستگاه كامل و تمام است. گودل در ۱۹۳۰ ثابت كرد كه این بنیانگذاری منطق بر شالوده تفكر فرگه برای منطق كامل هست. قضایای نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس كننده تر برای تفكر بشری است.
* متن مكتوب سخنان دكتر محمد اردشیر، استاد ریاضیات دانشگاه صنعتی شریف در یكصدو هفتاد و چهارمین نشست كتاب ماه ادبیات و فلسفه.
محمد اردشیر

منبع : روزنامه ایران