روش کبیسه‌یابی خازنی

خواجه نصيرالدين طوسى

خواجه نصيرالدين طوسى در زيج ايلخانى نوشته است که در اين گاه‌شمارى 'به‌هر چهارسال يک روز کبيسه باشد ... و چون هفت‌بار يا هشت‌بار به چهارسال کبيسه افتد يک بار به پنج سال کبيسه افتد و معرفت اوائيل سال‌ها به استقراء معلوم شود' .

منظور خواجه اين است که در گاه‌شمارى جلالى کبيسه‌ها به‌صورت دوره‌هاى ۳۳=(۵×۱) + (۴×۷) يا دوره‌هاى ۳۷=(۵×۱) + (۴×۸) (برحسب سال) هستند، اما تنها 'استقراء' مى‌تواند اول هرسال را مشخص کند و با محاسبه يا از روى قاعدهٔ دقيق نمى‌توان اول هرسال را تعيين کرد. هم‌چنين توجه کنيم که خواجه کبيسه‌هاى پنج‌سالى را در پايان دوره‌ها قرار مى‌دهد.

اگر فرض کنيم خواجه به يکى از اين دوره‌ها يا جمع هر دو در يک دورهٔ ۷۰ = (۳۳ + ۳۷) ساله اعتقاد مى‌داشت به آسانى مى‌توانست يکى از سه عدد زير را براى طول سال خورشيدى متوسط در گاه‌شمارى جلالى به‌دست دهد:

	(روز) ۲۴۲۴۲۴۲۴/۳۶۵ = (۳۳ ÷ ۸) + ۳۶۵ . (۱)
	(روز) ۲۴۳۲۴۳۲۴/۳۶۵ = (۳۷ ÷ ۹) + ۳۶۵ . (۲)
	(روز) ۲۴۲۸۵۷۱۴/۳۶۵ = (۷۰ ÷ ۱۷) + ۳۶۵ . (۳)

خواجه، در عين حال، در همان زيج ايلخانى جدولى به‌دست مى‌دهد که در آن کبيسه‌هاى پنج‌سالى نخستين ۲۹۵ سال گاه‌شمارى جلالى به‌صورت زير هستند:

۲۹۱، ۲۵۸، ۲۲۵، ۱۹۲، ۱۶۳، ۱۳۰، ۹۷، ۶۴، ۳۱

اين سال‌ها با مبداء جلالى نوشته شده‌اند. با توجه به دوره‌هاى ۳۳ سالى مورد نظر خواجه، چنانکه پيش از اين بيان کرديم، چنين مى‌نمايد که سال دوم پيش از مبداء جلالي، يعنى سال ۴۵۶ هجرى خورشيدى (بنا بر گاه‌شمارى کنونى ايراني، هرگاه به گذشته تسرّى يابد) کبيسه بوده است.

مطابق نظر نويسندهٔ زيج ايلخانى سال‌هاى فوق کبيسهٔ پنج سالى و سال‌هاى ۲، ۶، ۸، ...۲۶، ...۳۵، ...۵۹، ...۶۸، ...۹۲، ...۲۸۶ و ۲۹۵ کبيسهٔ چهارسالى بوده‌اند.

بنابر قاعده‌اى که ما در مباحث بعد به‌دست خواهيم داد هرگاه ساعت تحويل يک سال بين ساعت ۶ و ۱۱ دقيقه و تقريباً ۰۲۶/۱۴ ثانيهٔ بامداد و ۱۲ (يعنى ظهر) باشد آن سال کبيسه خواهد بود. مطابق محاسبات ما، ساعت تحويل سال يکم جلالى يا سال ۴۵۸ ش برابر بوده است با ساعت ۹ و ۱۱ دقيقه و ۴۹ ثانيه. از اين‌رو با منحاسبات ما سال اول جلالى کبيسه بوده است. تقى‌زاده، با عددى که براى ساعت تحويل سال يکم به‌دست مى‌دهد، آن سال را عادى (يعنى غيرکبيسه)، و ورود خورشيد به اعتدال ربيعى در چهارسال پيش از آن (سال ۴۶۷ ق) را در ساعت ۷ و ۱۲ دقيقهٔ صبح و آن سال را کبيسه مى‌داند. تفاوت ميان ساعت تحويل موردنظر تقى‌زاده براى سال ۴۵۸ ش (يعنى ساعت ۶ و ۹ دقيقه) با حد مرزى مورد نظر ما حدود ۲ دقيقه و ۱۴ ثانيه است که بايد به احتمال بروز خطا به‌ اندازهٔ اين مقدار نسبتاً اندک توجه داشت.

در هر صورت اگر اعداد خواجه نصيرالدين طوسى را براى سال‌هاى کبيسهٔ پنج‌سالي، يعنى پايان دوره‌ها، مورد توجه قرار دهيم مى‌توانيم دوره را به‌صورت تفاضل هر دو عدد متوالى به‌دست آوريم:

۳۳ و ۳۳ و ۳۳ و ۲۹ و ۳۳ و ۳۳ و ۳۳ و ۳۳ و ۳۳

جالب است که در اين ترتيب دورهٔ ۳۷ سالى وجود ندارد. اما با دورهٔ ۲۹ سالى روبه‌رو هستيم. در حالى‌که نويسندهٔ زيج ايلخاني، آن‌گونه که در بند پيشين گفتيم، از دورهٔ ۳۷ سالى نام مى‌برد و هيچ اشاره‌اى به دورهٔ ۲۹ سالى نمى‌کند. اگر نظم فوق مورد نظر نويسندهٔ زيج ايلخانى بوده باشد مى‌توان آن را، دست‌کم براى بازهٔ زمانى ۲- جلالى تا ۲۹۵ جلالى (يا ۴۵۶ ش تا ۷۵۳ ش) به‌صورت زير نوشت:

(۳۳×۵) + (۲۹×۱) + (۳۳×۳)(۵۲)

دورهٔ ۲۹ سالى قاعدتاً، مطابق نظر نويسندهٔ زيج ايلخاني، آن‌گونه که در بند پيشين ديديم (هرچند ظاهراً خود به اين دوره توجهى نداشته است)، از شش کبيسهٔ چهارسالى و يک کبيسهٔ پنج‌سالى ساخته شده است: (۵×۱) + (۴×۶) = ۲۹ هرگاه خواجه طول سال خورشيدى متوسط را صرفاً با اتکاء به اين ۲۹۵ سال (در واقع ۲۹۷ سال) به‌دست مى‌آورد به نتيجهٔ زير مى‌رسيد:

۳۶۵ + (((۸×۵) + (۷×۱) + (۸×۳)) ÷ ۲۹۷) = ۳۶۵ + (۷۱ ÷ ۲۹۷) = ۳۶۵/۲۳۹۰۵۷۲۴

(روز)

شاهنشاه سمنانى

حسن بن حسين بن حسن شاهنشاه سمنانى در شرحى که بر زيج ايلخانى (در سال ۷۹۵ ق) نوشته است کبيسه‌هاى چهارسالى و کبيسه‌هاى پنج‌سالى گاه‌شمارى جلالى را تا سال ۴۴۳ آورده است به‌طورى که ادامهٔ دوره‌هاى موردنظر نويسندهٔ زيج ايلخاني، براى کبيسه‌هاى پنج‌سالي، را مى‌توان به‌صورت زير ادامه داد:

۴۱۹، ۳۸۶، ۳۵۳، ۳۲۰

(سال‌هاى ۲۹۹، ...۳۱۵، ۳۲۴، ...۳۴۸، ۳۵۷، ...۳۸۱، ۳۹۰، ...۴۱۴، ۴۲۳، ...۴۳۹ و ۴۴۳ کبيسهٔ چهارسالى بوده‌اند). هرگاه دوره‌هاى فوق را دنبالهٔ دوره‌هاى موردنظر زيج ايلخانى بدانيم، سال ۳۲۰ پس از سال ۲۹۱ قرار مى‌گيرد و دوره‌هاى فوق را مى‌توان به‌صورت زير نوشت:

(۳۳×۳) + (۲۹×۱)

جمع دوره‌هاى زيج ايلخانى و شرح سمنانى بر آن به‌صورت زير است:

(۵×۳۳) + (۱×۲۹) + (۳×۳۳) + (۱×۲۹) + (۳×۳۳)

پيش از اين گفتيم که مى‌توان آغاز دورهٔ مختوم به سال ۳۱ را دو سال پيش از مبداء جلالى در نظر گرفت. اما اين احتمال نيز وجود دارد که اين دوره يک دورهٔ ۲۹ سالى بوده و از سال دوم مبداء جلالى (يعنى سال ۴۵۹ ش) آغاز شده باشد.

در اين‌صورت جمع دوره‌هاى زيج ايلخانى و شرح سمنانى برآن، از سال دوم جلالى تا سال ۴۱۹ جلالى (يعنى از سال ۴۵۹ ش تا ۸۷۶ ش) به‌صورت زير است:

۲۹ + (۴×۳۳) + (۱×۲۹) + (۳×۳۳) + (۱×۲۹) + (۳×۳۳) = ۱۶۱ + (۲×۱۲۸)

البته، همان‌گونه که گفتيم، مطابق محاسبات ما سال يکم جلالى (۴۵۸ ش) خود کبيسه بوده است. حتى مطابق نظر تقى‌زاده نه سال دوم پيش از مبداء جلالى بوده است نه سال دوم مبداء جلالي.

اما پذيرفتن نظم فوق براى کبيسه‌هاى جلالي، که نشان‌دهندهٔ وجود دوره‌هاى بزرگتر ۱۶۱ سالى و ۱۲۸ سالى است با محاسبات ما از نظر تأييد وجود اين دوره‌ها تطابق دارد، هرچند در محاسبات ما جاى دورهٔ ۱۶۱ سالى و تعداد دوره‌هاى ۱۲۸ سالى با آنچه در اين نظم مشاهده مى‌شود تفاوت دارد.

در هر صورت هرگاه سمنانى با تکيه بر دوره‌هائى که خود ذکر کرده است، و هم‌چنين با تکيه بر تلفيق دوره‌هاى خود و دوره‌هاى زيج ايلخانى (از دو سال پس از مبداء يا دوسال پيش از مبداء جلالي) طول سال خورشيدى متوسط را محاسبه مى‌کرد، به‌ترتيب به نتايج زير مى‌رسيد:

	۳۶۵ + ((۱×۷) + (۳×۸) ÷ ۱۲۸) =۳۶۵ + (۳۱ ÷ ۱۲۸) = ۳۶۵/۲۴۲۱۸۷۵ (روز)
	۳۶۵ + ((۷×۴×۸) + (۷×۳×۸) + (۷+۳×۸)) ÷ (۱۶۱ + ۲×۱۲۸)) = ۳۶۵ + (۱۰۱ ÷ ۴۱۷) =
	۳۶۵/۲۴۲۲۰۶۲۳ (روز)
	۳۶۵ + (۱۰۲ ÷ ۴۲۱)= ۳۶۵/۲۴۲۲۸۰۲۸ (روز)

روش کبیسه‌یابی خازنی

از روش کبيسه‌يابى خازنى مى‌توان استنباط کرد که او به دورهٔ ۲۲۰ سالى با ۵۳ سال کبيسه (هشت کبيسهٔ پنج‌سالى و ۴۵ کبيسهٔ چهارسالي) و ۱۶۷ سال عادى توجه داشته است. خازنى خود براى ترتيب کبيسه‌ها در گاه‌شمارى جلالى ترتيب خاصى را به‌دست نمى‌دهد.

تقى‌زاده سه دورهٔ کوچک ۲۵ ساله و پنج دورهٔ ۲۹ ساله را براى اين دورهٔ ۲۲۰ ساله مطرح مى‌کند و عبداللهى نيز اين دوره را متشکل از سه دورهٔ ۲۵ ساله و پنج‌ دورهٔ ۲۹ ساله مى‌داند:

(۲۹×۵) + (۲۵×۳) = ۲۲۰

که دورهٔ ۲۵ ساله متشکل از پنج کبيسهٔ چهارساله و يک کبيسهٔ پنج ساله است.

خازنى مى‌توانسته است طول سال را مطابق رابطهٔ زير به‌دست آورد:

۳۶۵ + (۵۳ ÷ ۲۲۰) = ۳۶۵/۲۴۰۹۰۹۰(روز)

که عبارت از ۳۶۵ روز و ۵ ساعت و ۴۶ دقيقه و ۵۴ ثانيه (۵۴ ثانيه و ۳۲ ثالثه و ۴۴ رابعه و ۳۹ و کسرى خامسه) است.

طول سال خورشيدى به‌گونه‌اى مستقل در زيج سنجرى به‌صورت 'شسه مدکدک لومر' آمده است که برابر است با ۳۶۵ روز و ۵ ساعت و ۴۵ دقيقه و ۴۴ ثانيه و ۱۴ ثالثه و ۱۸ رابعه و ۴۴ خامسه (يا ۲۴۰۰۹۵۶۰۲/۳۶۵). با طول سال خورشيدى متوسط، آن‌گونه که از زيج سنجرى برمى‌آيد، مدت زمانى که تصحيح تقويم به اندازهٔ يک روز باشد، برابر است با:

	۱ ÷ (۰/۲۴۲۱۹۸۷۹ - ۰/۲۴۰۹۰۹۰) ≈ ۷۷۵ (سال)
يا
	۱ ÷ (۰/۲۴۲۱۹۸۷۹ - ۰/۲۴۰۰۹۵۶۰۲) ≈ ۴۷۵ (سال)

زیج‌ الغ‌بیک

در زيج‌ الغ‌بيک دوره‌هاى کبيسهٔ پنج‌سالى گاه‌شمارى جلالى ۲۹ ساله يا ۳۳ ساله (متشکل از شش يا هفت کبيسهٔ چهارساله و يک کبيسهٔ پنج‌ساله) ذکر شده‌اند، اما به دوره‌هاى بزرگتر اشاره‌اى نشده است.

در رصدخانهٔ سمرقند (محل تنظيم زيج الغ‌بيک) طول سال خورشيدى برابر با ۳۶۵ روز و ۵ ساعت و ۴۹ دقيقه و ۱۵ ثانيه اندازه‌گيرى شده است که عددى غيردقيق است و با اين مقدار براى طول سال لازم است که هر ۲۹۷۷ سال يک بار گاه‌شمارى به اندازهٔ يک روز تصحيح شود:

۱ ÷ (۰/۲۴۲۵۳۴۷۲ - ۰/۲۴۲۱۹۸۷۹) ≈ ۲۹۷۷ (سال)

سوتر دوره‌هاى ۲۹ سالى و ۳۳ سالى را متناوب مى‌داند به‌طورى که در هر ۶۲ (=۳۳+۲۹) سال پانزده کبيسه يا روز اضافى وجود دارد و طول سال برابر است با:

۳۶۵ + (۱۵ ÷ ۶۲) = ۳۶۵/۲۴۱۹۳۵۴۸