با انیشتین جهان ریاضیات آشنا شوید

باشگاه خبرنگاران جوان - گروتندیک بسیار کمتر از انیشتین شناخته شده است، زیرا ریاضیات سریع‌تر از فیزیک وارد مباحث فنی می‌شود. اما مشابه انیشتین، تأثیر گروتندیک فقط ناشی از نتایجی که او شخصا به دست آورده، نبود، هرچند که آن نتایج نیز متحول کننده بودند، اما مطالعات او کل رشته‌اش را در مسیرهای جدید و رادیکالی جهت‌دهی کرد.

گروتندیک از همان روزهای آغازین، فردی پرشور بود. او از اوایل دهه ۱۹۵۰، زمانی که در دهه ۲۰ زندگی‌اش بود، هزاران صفحه یادداشت رسمی و غیررسمی تولید کرد که مسیر ریاضیات را تغییر داد.

سپس در سال ۱۹۷۰، او کار را رها کرد. او شغل خود را در یک موسسه تحقیقاتی معتبر در خارج از پاریس ترک کرد تا در دانشگاه استانی مون‌پلیه (Montpellier) تدریس کند؛ همان ‌جایی که در آن دوره کارشناسی‌اش را گذرانده بود. او تقریبا صحبت با دیگر ریاضیدانان را متوقف کرد. در اوایل دهه ۱۹۹۰، او به روستای کوچکی در پیرنه (Pyrenees) نقل مکان کرد و در آن جا گوشه‌نشین شد.

ریاضیدانان هنوز در حال دست‌ و پنجه نرم کردن با نوآوری‌هایی هستند که او نیم قرن پیش انجام داد. کار او با تمرکز بر روابط بین اشیاء به جای خودِ آن اشیاء، ریاضیات را به سطح جدیدی از انتزاع برد. او در خاطراتش نوشته است: اگر یک چیز در ریاضیات باشد که مرا بیش از هر چیز دیگری مجذوب خود کند، اعداد یا اندازه نیستند بلکه همواره «شکل» (Shape) بوده است و در میان هزار و یک چهره‌ای که یک شکل به خود می‌گیرد تا خود را بر ما آشکار کند، آنچه بیش از هر چیز دیگر مرا مجذوب کرده و همچنان می‌کند، ساختار پنهان در چیزهای ریاضی است.

ریاضیات انقلابی او حول جستجو برای آن ساختار پنهان می‌چرخید.

گروتندیک که در اینجا در سال ۱۹۵۴ دیده می‌شود، مجذوب ساختار هندسی پنهان بود.

الکساندر گروتندیک زاده ۲۸ مارس سال ۱۹۲۸ در برلین است. او چهره اصلی در ایجاد نظریه نوین هندسه جبری به شمار می‌رود و یکی از بزرگ‌ترین دستاوردهای او کشف نخستین نظریه کوهومولوژی است. دوست و همکار قدیمی گروتندیک، در مورد او اینگونه می‌گوید: او به مدت دوازده سال، دوازده ساعت در روز، هفت روز هفته و دوازده ماه سال را ریاضی کار می‌کرد و علیرغم این همه سخت کار کردن از ریاضی خسته نمی‌شد.

آشکار کردن شکل‌ها

گروتندیک بیشتر به خاطر کارهایش در هندسه جبری (Algebraic Geometry) مشهور است. این رشته ابتدا به عنوان مطالعه شکل‌هایی که توسط معادلات چندجمله‌ای (Polynomial equations) تعریف می‌شوند، توسعه یافت.

این رشته در اواخر قرن نوزدهم به اوج خود رسید، زمانی که ریاضیدانان شروع به پرسیدن سوالاتی درباره این کردند که چه اتفاقی می‌افتد اگر به جای جایگذاری اعداد معمولی در معادلات، اعداد را از مجموعه‌های دیگر و انتزاعی‌تر در آن قرار دهیم.

پیش از گروتندیک، هندسه جبری یک زیرشاخه جالب در ریاضیات بود. اما همان‌طور که ریاضیدان دیوید مامفورد (David Mumford) بعدها نوشت، این رشته در بحران هم بود و هر محقق از تعاریف و اصطلاحات خاص خود استفاده می‌کرد که در آن «مبانی» موضوع حداقل به ۱۲ «زبان» ریاضی مختلف توصیف شده بود.

سپس گروتندیک از راه رسید و دنیای آشفته محققان را زیر و رو کرد و آن‌ها را با اصطلاح‌شناسی جدید و همچنین با تولید عظیمی از نتایج جدید و بسیار هیجان‌انگیز، غرق کرد. گروتندیک بیشتر به خاطر معرفی ساختارهای ریاضی مشهور است که به او و دیگران کمک کرد حدس‌های دیرینه را اثبات کنند و در نهایت خودشان به اشیاء مرکزی مطالعه تبدیل شدند.

کار او همچنین هندسه جبری را در مرکز شبکه‌ای از بسیاری از حوزه‌های دیگر ریاضی از جمله توپولوژی (Topology)، نظریه اعداد (Number Theory)، نظریه نمایش (Representation Theory) و منطق قرار داد. برایان کنراد (Brian Conrad) از دانشگاه استنفورد می‌گوید: گروتندیک هرگز مستقیماً بر نظریه اعداد کار نکرد، اما ایده‌هایی که او وارد هندسه جبری کرد، کاملا نحوه انجام نظریه اعداد را دگرگون ساخت.

اولین نتیجه اصلی او در هندسه جبری، تعمیم او در سال ۱۹۵۷ بر قضیه ریمان-روخ (Riemann-Roch theorem) بود؛ اثباتی از یک قرن پیش که تعیین می‌کند چگونه شکل یک سطح، توابعی را که می‌توان روی آن تعریف کرد، محدود می‌کند. همان‌طور که لیلاشنپس (Leila Schneps) از مرکز ملی تحقیقات علمی فرانسه نوشت، اثبات گروتندیک او را به ستاره‌ای فوری در دنیای ریاضیات تبدیل کرد.

کنراد می‌گوید که به لطف روش‌های او، راه کاملا جدیدی برای فکر کردن درباره چرایی درست بودن قضیه فراهم شد.

سپس، به همان سرعت، گروتندیک به سراغ کار بعدی رفت. در کنگره بین‌المللی ریاضیدانان در سال ۱۹۵۸، او قصد خود برای بازسازی کل هندسه جبری را اعلام کرد. او قرار بود این کار را با چیزی به نام طرحواره (Scheme) انجام دهد.

گروتندیک دهه‌های پایانی عمرش را در گوشه‌ای دنج در حومه فرانسه گذراند. این عکس در سال ۲۰۱۳، یک سال قبل از مرگش گرفته شده است.

طرحواره‌ای جدید برای ریاضیات

یک دهه قبل، ریاضیدان آندره وی (André Weil) حدسی درباره ارتباط بین راه حل‌های معادلات چندجمله‌ای که در دو محیط ریاضی بسیار متفاوت تعریف شده‌اند، مطرح کرده بود. آندره وی چهار حدس مطرح کرد که چندجمله‌ای‌ها را از یک محیط به محیط دیگر مرتبط می‌کرد. پس از اینکه گروتندیک توضیحی برای چرایی درست بودن حدس‌های آندره وی ارائه کرد، ریاضیدانان به این باور رسیدند که معادلات دارای ساختار معناداری هستند، مستقل از اینکه x و y اعداد مختلط باشند یا عناصری از یک میدان متناهی یا موز باشند! گروتندیک ساختارهای ریاضی را تعریف کرد که امکان دقیق کردن و حتی شهودی کردن چنین اظهاراتی را برای کسانی که به زبان جدید او مسلط شدند، فراهم کرد.

اینجاست که طرحواره‌های گروتندیک وارد عمل شدند. ساختن حتی یک طرحواره ساده کمی تلاش می‌طلبد. اما اگر ادامه دهید، می‌توان فهمید که طرحواره‌ها چیستند و شهودی برای اینکه چرا مفید هستند، ایجاد کرد. طرحواره‌ها فضاهای هندسی هستند که از ترکیبات جبری انتزاعی ساخته شده‌اند.

گروتندیک در سال ۲۰۱۴ پس از سال‌ها تنهایی درگذشت، در حالی که از جامعه ریاضیاتی که خود به ایجاد آن کمک کرده بود، بیگانه شده بود. با این وجود، ریاضیدانان با علاقه و احترام از او یاد می‌کنند. همان‌طور که ریاضیدان هاروارد، بری مازور (Barry Mazur) می‌گوید: در طول اوایل دهه ۶۰، گفتگوهای او سرشار از آرامشی همراه با اطمینان بود. او ایده‌های ریاضی را با لبخندی ارائه می‌کرد که همیشه وسعتی از سخاوت در آن بود. طوری که گویی «هیچ چیز در دنیا آسان‌تر» از آن چه او می‌بیند، نیست.

ایده‌های او پیچیده بودند، اما بیشتر استدلال‌ها زمانی که آن‌ها را تنظیم می‌کنید، بسیار سرراست و ساده می‌شوند. شما فقط به مسیرتان ادامه می‌دهید و ادامه می‌دهید و ادامه می‌دهید. او بزرگراه را برای ما پیدا کرد.

منبع: ایسنا