دنیای کوچک

حتماً تا حالا شنیدید که ؛ "عجب دنیای کوچیکیه". یا اینکه "کوه به کوه نمی رسه اما آدم به آدم میرسه". یا حتی اینکه "گذر پوست به دباغ خونه می افتد" و ... همه این ضرب المثل ها بر کوچکی دنیا و نزدیکی آدمهای آن به هم دلالت دارند. توی این مقاله می خواهیم ببینیم این دنیا واقعاً کوچک است یا آیا اصلاً می شود کوچکی یا بزرگی دنیا را اندازه گرفت؟ آیا واقعاً با اینکه کوه به کوه نمی رسه، آدم به آدم میرسه؟!
در سالهای اخیر تعداد زیادی از فیزیکدانها و کارشناسان و محققان علوم کامپیوتر و حتی تعدادی از ریاضیدانها مشغول بررسی خصوصیات شبکه های مختلف و انواع ارتباطات و ویژگیهای اتصالات آنها شده اند.
● تعریف چند اصطلاح
▪ رأس: در دیدگاه شبکه ای (Network) به اعضای اصلی یک مجموعه که هدف بررسی ارتباطات این اعضا است رأس گفته می شود.
مثلاً در شبکه راههای یک کشور، شهرها رئوس شبکه هستند. یا در شبکه های اینترنتی هر پایگاه یک رأس از شبکه است. در شبکه های اجتماعی معمولاً انسانها نقش رئوس را بازی می کنند و در شبکه های اقتصادی شرکت ها و موسسات اقتصادی رئوس شبکه هستند.
▪ یالها یا اتصالها: یالها یا اتصال ها بیانگر وجود رابطه ای بین دو رأس از شبکه هستند. به عبارتی هر گاه بین دو رأس از یک شبکه یک یال یا اتصال برقرار باشد بدین معنی است که این دو رأس، به هم مرتبط اند. واضح است که وجود یال بستگی به تعریف ما از رابطه بین دو رأس دارد. مثلاً در یک شبکه راههای یک کشور وجود یال به معنی وجود جاده یا در شبکه پایگاههای اینترنتی وجود لینک یا در یک شبکه اجتماعی وجود رابطه دوستی یا در شبکه های اقتصادی وجود شراکت تجاری و ... می باشد.
می بینیم که با این تعریف های ساده یک مجموعه پیچیده از اعضاء مختلف با ارتباطهای پیچیده را می توان به مجموعه ای از رئوس و یالها ساده کرد. معمولاً در نمایش شبکه ها از نقاط به عنوان رئوس و از خطوط متصل کننده نقاط به عنوان یال استفاده می شود.
● شبکه های منظم (Regular)
شبکه های منظم شبکه هایی هستند که یالها و رأسهای آن به طور منظم و معمولاً متقارن در کنار هم قرار گرفته اند. به طوری که نمایش آنها معمولاً به شکل چند ضلعی های منتظم که قطرهای خاصی از آنها رسم شده اند، است. به طور مثال شکل زیر یک شبکه منتظم شامل ۸ رأس و ۱۶ یال است. در این شبکه هر عضو با ۴ عضو دیگر در ارتباط است. و موقعیت تمامی اعضا، کاملاً یکسان است.
معمولاً در دنیای واقعی کم پیش می آید که با یک شبکه منظم برخورد کنیم.
● شبکه تصادفی (Random)
شبکه های تصادفی شبکه هایی هستند که یالهای موجود در آنها به صورت کاملاً تصادفی رئوس را به هم متصل کرده اند و هیچ نظم و قانونی بر اینکه کدام دو رأس به هم متصل شوند وجود ندارد. به طور مثال شکل زیر نمایشی از یک شبکه تصادفی است که ۸ رأس و ۱۶ یال دارد.
معمولاً شبکه های تصادفی تحت شرایطی که بی نظمی حاکم به سیستم زیاد است شکل می گیرند.
حال به دو تعریف مفید می پردازیم:
- میانگین طول مسیر (mean path length)–(L)
طول مسیر تعداد یالهایی است که باید طی شود تا از یک رأس مشخص به رأس مشخص دیگری رسید. مثلاً در شکل زیر طول مسیر بین رأس A و B برابر ۴ است. البته اگر چند مسیر بین دو رأس مورد نظر وجود داشته باشد طول کوتاهترین مسیر به عنوان طول مسیر شناخته می شود.
حال اگر روی کل طول مسیرهای ممکن در یک شبکه میانگین بگیریم به میانگین طول مسیر دست پیدا می کنیم. مثلاً در شبکه شکل زیر میانگین طول مسیر ۱.۳۳ است.
زیرا طول مسیر بین ۱و۲ – ۲و۴ – ۴و۳ برابر ۱ است و طول مسیر بین ۱و۴ - ۴و۳ برابر ۲ است.
تعداد کل مسیرها = ۶
به زبان دیگر میانگین طول مسیر بیان می کند به طور میانگین فاصله بین ۲ رأس در شبکه چقدر است یا اینکه به طور میانگین ۲ رأس در شبکه با چند واسطه با هم در ارتباطند.
● ضریب خوشیدگی (Clustering coeficent)-(C)
ضریب خوشیدگی یا ضریب خوشه ای شدن بر روی یک شبکه به صورت زیر تعریف می شود. یک رأس خاص از شبکه را در نظر بگیرید. فرض کنید تعداد همسایه های این رأس یعنی رأسهایی که با آن بدون واسطه ارتباط دارند n باشد.
( به شبکه ای که همه یالهای ممکن در آن وجود داشته باشد شبکه کاملاً متصل full connected می گویند.)
اما از این ۱۵ یال ممکن که ۱۰ تای آنها مربوط به اتصال همسایه های A به یکدیگر است تنها ۵ یال که فقط یکی از آنها مربوط به اتصال همسایه های A هستند موجود است. به نسبت تعداد یالها (اتصالات) موجود بین همسایه های یک رأس با هم به تعداد یالهای ممکن ضریب خوشیدگی یا خوشه ای شدن رأس مورد نظر می گویند.
به عبارتی هر چه همسایه های یک رأس نیز با یکدیگر همسایه باشند این ضریب افزایش می یابد. اگر ضریب خوشیدگی تمامی رئوس را میانگین گیری کنیم به ضریب خوشیدگی کل می رسیم. واضح است که بیشترین مقدار این ضریب مربوط به شبکه کاملاً متصل است. که ضریب خوشیدگی کل آن برابر یک است. زیرا همه همسایه های یک رأس با هم نیز همسایه اند. کمی به این تعاریف و مثالها فکر کنید تا به این سوال که چقدر دنیا کوچک است جواب دهیم!
دوباره به شبکه های منظم (regular) و تصادفی (random) برمی گردیم. و در مورد میانگین طول مسیر و ضریب خوشیدگی آنها بحث می کنیم.
ویژگی خاص شبکه های منظم این است که این شبکه ها ضریب خوشیدگی (C) زیاد و نیز میانگین طول مسیر (L) بزرگی دارند. یعنی هم تعداد همسایه های یک رأس که با هم همسایه اند زیاد و هم فاصله دو رأس به طور میانگین زیاد است. این نتایج با استفاده از شبیه سازیهای ساده ای که مقدار L و C را برای شبکه های منظم مختلف اندازه گیری می کند بدست آمده است.
از طرفی شبکه های تصادفی ضریب خوشیدگی کم و میانگین طول مسیر کوتاه دارند.
یعنی معمولاً رئوس فاصله کمی با هم دارند و با واسطه های کم می توان از یکی از رئوس به رأس دیگری رسید.
پس از بررسی " شبکه های دنیای کوچک " می توانیم توضیحی برای خصوصیات بالا ارائه کنیم و بفهمیم اساس این ویژگیها چیست.
● شبکه های دنیای کوچک
در واقع شبکه های دنیای کوچک حالتی بین شبکه های منظم و شبکه های تصادفی است.
برای تبدیل این شبکه به یک شبکه تصادفی از روش زیر که باز اتصال (Rewiring) نام دارد استفاده می کنیم:
یک رأس را در نظر می گیریم اگر این رأس K یال داشته باشد (در مثال بالا K = ۴) هر یال را با احتمال P از بین برده و بجای آن یک یال از رأس مذکور به یک رأس دلخواه که بصورت تصادفی از بین رئوس دیگر انتخاب شده است، ایجاد می کنیم. یعنی با احتمال P به جای هر یال موجود یک یال تصادفی جایگزین می کنیم.
هر چه P بزرگتر باشد (توجه کنید که P بین عددی بین صفر و یک است)
احتمال وقوع یک باز اتصال بیشتر است. اگر P صفر باشد یال مذکور به همان صورت قبلی باقی می ماند.
پس از اینکه برای یک رأس این کار را انجام دادیم به سراغ رأس بعدی می رویم و همین طور تک تک همه یالهای همه رأسها را با احتمال P باز اتصال می دهیم. واضح است که اگر P=۱ باشد به یک شبکه کاملاً تصادفی می رسیم و اگر P=۰ باشد شبکه منظم باقی می ماند. می توانید امتحان کنید:
و در مورد Pهای بینابین در اصل یک شبکه منظم، نیمه تصادفی داریم.
همانطور که می بینید برای یعنی شبکه منظم هم L ( میانگین طول مسیر) و هم C (ضریب خوشه ای شدن) بزرگند و برای یعنی شبکه تصادفی هم L و هم C کوچکند. اما شبکه های دنیای کوچک همانطور که گفتیم چیزی بین این دو ، یعنی شبکه های بازسازی شده با P تقریباً برابر ۰.۰۱ است که می بینید L کوچک و C بزرگ دارند!
یعنی در این شبکه ها علاوه بر اینکه فاصله دو رأس کم است بلکه همسایه ها نیز همدیگر را می شناسند. یاد خودتان نیفتادید؟
مهمترین مثال شبکه دنیای کوچک مثال روابط اجتماعی است. فرض کنید شبکه ای داریم که رئوس آن انسانها و اتصال ها رابطه دوستی باشد. دو رأس را دوست می نامیم اگر همدیگر را با نام کوچک صدا بزنند. یعنی هر دو آدمی که آنقدر صمیمی باشند که یکدیگر را با نام کوچک صدا بزنند را با یک یال به هم متصل می کنیم. به سادگی می توان نشان داد این شبکه شبکه دنیای کوچک خواهد بود. میانگین طول مسیر در این شبکه در حدود ۶ است!!! یعنی هر دو آدمی در دنیا را در نظر بگیرید به طور میانگین با ۶ واسطه یعنی با ۶ دوست صمیمی به هم متصل می شوند.
این است که می گویند که دنیا کوچک است یا اینکه آدمها به هم می رسند. تصور کنید شما و یک قصاب اوگاندایی فقط با چیزی در حدود ۶ یا ۷ وسطه با هم دوستید!
همچنین ضریب خوشیدگی نیز در مورد این شبکه ها بسیار بالاست حتماً شما هم دیده اید که معمولاً دوستانتان نیز با هم دوست هستند. و دوست مشترک بین شما و دوستانتان زیاد است. یا به عبارتی آدمها در این شبکه دسته دسته اند و به خوشه هایی مجزا از هم تبدیل شده اند که گاه با یک میانبر یک خوشه به خوشه دیگری وصل می شود.
راز کوچک بودن L در شبکه های تصادفی هم همین است. در اصل نقش اصلی را میانبرها ( اتصالات جدید بلند که از یک سمت شبکه به سمت دیگر می روند) به عهده دارند، بررسی خصوصیات شبکه های دنیای کوچک بسیار مفید و پر کاربرد است.
چه جور شبکه ای از سلولهای عصبی بهترین یادگیری را دارند؟ شاید جالب باشد که بدانید در شبکه های دنیای کوچک از سلولهای عصبی یادگیری بسیار سریع تر از شبکه های منظم انجام می گیرد. در مغز ما هم اتفاقاً شبکه سلول های عصبی از نوع شبکه های دنیای کوچک اند!!!
به نظر شما با نظارت بیشتر بر کدام سایت ها می توان از انتشار یک ویروس در کل شبکه اینترنت جلوگیری کرد؟؟

طاها یاسری، دانشجوی کارشناسی ارشد فیزیک، دانشکده فیزیک، دانشگاه صنعتی شریف

منبع : سایر منابع