حرکت عمودی

حرکت عمودى

شتاب و سرعت افقى توپ فوتبال به‌طورى که در شکل روش مثلثاتى تجزيهٔ بردارى نشان داده شده است در جهت موازى با سطح زمين عمل مى‌کند و تمايلى به بالا آوردن توپ در هوا ندارد زيرا بلندشدن توپ در هوا بستگى کامل به سرعت عمودى دارد که قبل از رها شدن توپ از زمين به آن وارد مى‌شود. علاوه بر اين مدت زمان پرواز توپ نيز بستگى به سرعت عمودى توپ دارد.

به‌طور منطقي، زمان پرواز برابر با مدت زمان طى شده تا رسيدن جسم به نقطهٔ اوج (که آن را با حرف tup نشان مى‌دهيم) به اضافه مدت زمانى که طول مى‌کشد تا جسم پرتاب شده از نقطهٔ اوج خود برگشته و در نقطه‌اى فرود آيد مى‌باشد (که آن را به حرف down نشان مى‌دهيم) بنابراين:

T=tup+ t down

مدت زمانى را که طول مى‌کشد تا جسم پرتاب شده به نقطه اوج خود برسد مى‌توان به‌صورت ذيل محاسبه نمود:

زمان صعود up=? t=t

بردار سرعت اوليه در موقع جدا شدن از زمين Vi=v sinθ

بردار سرعت نهايى Vf=0

شتاب حرکت a=-g

با به کار بردن معادلهٔ فوق:

Vf=Vi+at

V sinθ-gt up=0

tup=V sin θ / g

و حالا براى محاسبهٔ زمان طى شده براى نزول جسم t down مى‌توان از عملکرد جابجايى عمودى d down استفاده و آن را بيان نمود:

زمان t=0 down

بردار سرعت اوليه در نقطهٔ اوج Vi=0

شتاب a=-g

جابجايى d=-d down

با به‌کار بردن معادلهٔ زير:

d=Vit+1/2 at²

-d down=-1/2at²down

t down=√(2d down/g)

بايد توجه داشت که جابجايى عمودى d down بستگى به ارتفاع سطحى دارد که جسم پرتاب شده روى آن قرار مى‌گيرد. اگر محل فرود آمدن جسم بالاتر از محلى باشد که جسم رها شده است (مانند وقتى که توپ بسکتبال در يک پرتاب آزاد در داخل حلقه فرود مى‌آيد) ميزان جابجايى به هنگام نزول کمتر از ميزان جابجايى در موقع صعود مى‌باشد. در صورتى که سطح فرود مساوى با ارتفاع آن به هنگام رهايى جسم باشد مانند ضربه‌هاى آزاد در فوتبال مقدار جابجايى در صعود و نزول برابر مى‌باشد و سرانجام هرگاه نقطهٔ فرود پائين‌تر از ارتفاع نقطهٔ رهايى جسم باشد مانند پرتاب وزنه در اين صورت ميزان جابجايى در نزول بيشتر از اين مقدار به هنگام صعود مى‌باشد.

وقتى جسم رها شده درست در همان سطحى که پرتاب شده فرود آمد (ساده‌ترين شکل ممکن که در بالا شرح داده شد) جابجايى نزولى را مى‌توان از طريق ۴ محاسبهٔ جابجايى صعودى محاسبه و به‌دست آورد: 1

مقدار جابجايى up=?   d=d

بردار سرعت اوليه Vi=v sinθ

بردار سرعت نهايى در لحظهٔ فرود Vf=0

شتاب حرکت a=0g

با به‌کار بردن معادلهٔ زير:

Vf²=Vi²+2al

0=(v sin θ)²-2gd up

dup=(v sin θ)²/2g

و چون d down=d up مى‌باشد با تعويض آن در معادلهٔ (t down=√(2d down)/g) مى‌توان آن را چنين بيان کرد:

t down=√2/g*(v sinθ)²/2g

t down=(v sinθ)/g

با مقايسهٔ معادلات بالا فورى روشن مى‌شود که چنانچه جسمى در همان سطحى که پرتاب شده فرود آيد مدت زمان صعود جسم دقيقاً برابر با مدت زمان فرود آمدن خواهد بود. (اين موضوع کاربرد مهمى در بسيارى از ورزش‌ها دارد مثلاً دو و ميدانى و ژيمناستيک) ژيمناستى که بخواهد روى ترمپلين قرار گيرد.

با محاسبهٔ مدت زمان صعود و نزول مى‌توان مدت زمان کل پرواز جسم را در فضا به‌دست آورد:

T=t up+t down

T=V sin θ / g + V sin θ/ g

T=27 sin θ / g

نتيجهٔ حاصلهٔ کاربردهاى مهمى در ورزش دارد. چون مقدار شتاب g عليرغم محل و مکان مقدارى است ثابت. بنابراين زمان پرتاب فقط به V sin θ يعنى بردار سرعت عمودى در موقع پرتاب وابسته است و از اين رو اگر پرتاب‌کننده‌اى بخواهد زمان پرتاب خود را تغيير دهد، بايستى اين عامل اصلى را تغيير دهد. بنابراين پاس‌دهنده‌اى که مايل است مدت زمان پرتاب پاس خود را در هوا زياد کند تا کوبنده‌هاى آبشار بتوانند مانورهاى مختلفى داشته باشند، سرعت عمودى توپ را در هنگام جدا شدن از دستش زياد مى‌کند و به‌عبارت ديگر ارتفاع پاس را زياد مى‌نمايد و همچنين ژيمناستى که بخواهد حرکت پشتک خود را در حرکات زمينى به دو پشتک کامل کند بايد سرعت عمودى خود را به هنگام جداشدن از زمين افزايش دهد و يا بازيکن بسکتبال چنانچه بخواهد مدت زمان پرواز توپ را در حالت پاس بلند به هم‌بازى خود که در جاى مناسبى قرار گرفته است کوتاه نموده و به‌طور سريع توپ را به او برساند بايستى از سرعت عمودى پاس خود در لحظه‌اى توپ از دستش جدا مى‌شود بکاهد. هرگاه جسم پرتاب شده در فضا بالاتر و يا پائين‌تر از نقطهٔ رهايى فرود آيد، مقدار جابجايى نزولى آن از اين طريق محاسبه مى‌شود:

d down=d up+h

d down= (V sin θ)²/2g +h

در اين معادله h مساوى است با ارتفاعى که جسم از آن رها شده منهاى ارتفاعى که در آن فرود آمده و يا به بيان ديگر h برابر است با اختلاف سطح نقطهٔ رهائى و نقطهٔ فرود جسم. از اين مطلب چنين استنباط مى‌شود که وقتى جسمى بالاتر از نقطهٔ رهائيش فرود آيد ارزش h مثبت خواهد بود. (براى سهولت و سادگى موضوع از اين پس h فقط ارتفاع سطح رها شدن جسم را نشان مى‌دهد، ليکن اين مطلب اساسى را در تعريف کامل آن که ارتفاع رهايى در رابطه با ارتفاع سطح فرود مى‌باشد بايد همواره به خاطر داشت).

با تعويض نمودن ارقام معادله d down= (V sin θ)²/2g +h در معادلهٔ t down=√(2d down/g) و ترکيب نتيجهٔ آن با معادلهٔ t up=V sinθ/g . معادلات نسبتاً طويل زير براى محاسبهٔ مدت زمان فرود و زمان کلى پرواز به‌دست مى‌آيد:

t down=√((V sin θ)²+2gh/g)

T=(V sin θ+√((V sin θ+)²+2gh))/g

از اين مطلب چنين استنباط مى‌شود که وقتى سطح رهايى جسم در هوا و سطح فرود آن برابر نباشد، زمان پرتاب را مى‌توان با تغيير سرعت عمودى پرتاب و يا ارتفاع پرتاب تغيير داد. بنابراين اگر قهرمان پرتاب وزنه بخواهد زمان پرواز وزنه را اضافه کرده و در نتيجه طول پرتاب را بيشتر نمايد، به دو طريق مى‌تواند به اين مهم دست يابد اول آنکه سرعت عمودى وزنه را در لحظهٔ پرتاب افزايش دهد و دوم آنکه سطح ارتفاع نقطهٔ رهايى وزنه را بالا ببرد. رابطهٔ بين سطح ارتفاع رهايى جسم و زمان پرواز در هوا همچنين مورد توجه قهرمانان ژيمناستيک و شيرجه مى‌باشد. آنها مى‌کوشند تا ارتفاع پرواز خود را در مراحل اوليهٔ يادگيرى مهارت تازه اضافه نمايند. ژيمناست‌ها براى اين منظور اغلب از وسايلى که از سطح زمين بالاتر است و يا آنها را از سطح زمين به بالا پرتاب مى‌کند مانند پيش تخته و يا مينى ترامپلين استفاده مى‌کنند در حالى که شيرجه‌روندگان براى همين منظور از تخته شيرجه‌هايى که ارتفاع آنها نسبت به سطح آن بيشتر از تخته‌ شيرجه‌هاى مسابقات بين‌المللى است استفاده مى‌کنند.