رابطه تعادلی اختیار خرید- اختیار فروش

رابطهء تعادلی اختیار خرید- اختیار فروش در حقیقت رابطهء بین قیمت اختیار خرید اروپایی و اختیار فروش اروپایی است در شرایطی كه هر دو دارای یك قیمت توافقی و یك تاریخ سررسید باشند‌. از این طریق با داشتن قیمت یكی، قیمت دیگری به دست می‌آید.
در یادداشت سوم ریاضی مالی (آربیتراژ، فرصت آربیتراژی و قیمت‌گذاری دارایی‌ها)‌مثال ساده‌ای از رابطهء تعادلی اختیار خرید- اختیار فروش آوردم‌. در این نوشته قصد دارم كمی مفصل‌تر در این باره بنویسم‌.
پیش از آغاز بحث در مورد رابطهء تعادلی مذكور، چند مفهوم مقدماتی از اختیار خرید و اختیار فروش ذكر می‌شود و سپس به مبحث اصلی (رابطهء تعادلی اختیار خرید- اختیار فروش) باز خواهم گشت‌.
● اختیار خرید:
اختیار خرید قراردادی است كه به موجب آن دارندهء اختیار خرید می‌تواند در تاریخ مشخصی از آینده (تاریخ سررسید یا انقضا) دارایی خاصی (كه دارایی پایه خوانده می‌شود) را با قیمت توافقی (كه امروز تعیین می‌شود) خریداری كند.
خریدار اختیار خرید برای دریافت چنین حقی (كه یك دارایی را در صورتی كه به نفعش باشد به قیمت خاص از پیش تعیین شده‌ای خریداری كند) مبلغی را پرداخت می‌كند كه به قیمت اختیار خرید معروف است و فروشندهء اختیار، آن را دریافت می‌كند‌. نكتهء قابل توجه این است كه دارندهء اختیار خرید، اجباری به اعمال حق خود ندارد اما اگر تصمیم گرفت اختیار خود را اعمال كند فروشنده مجبور است كه دارایی مورد نظر را به قیمت تعیین شده بفروشد‌.
به این ترتیب اگر قیمت دارایی در تاریخ سررسید بالاتر از قیمت توافقی باشد دارندهء اختیار خرید، اختیار خود را اعمال كرده، دارایی را با قیمتK خریداری می‌كند و می‌تواند آن را در بازار با قیمتS _(كه(S>K است بفروشد و معادل (S-K) سود كند (البته برای دریافت این سود قبلا مبلغ اختیار خرید (C) را پرداخت كرده است) و اگر(S<K) دارندهء اختیار خرید از حق خود می‌گذرد و مبلغ اختیار خرید را زیان كرده است‌. به این ترتیب سود دارندهء اختیار خرید در تاریخ سررسید مطابق با نمودار۱۱) زیر تعیین می‌شود.
یعنی تا وقتی كه قیمت دارایی زیر قیمت توافقی است اختیار اعمال نمی‌شود و دارندهء اختیار معادل مبلغ پرداختی زیان كرده است‌. اگر قیمت بازار دارایی بالاتر از قیمت توافقی باشد، اختیار خرید اعمال می‌شود اما تا قیمت(S=K+C) دارندهء اختیار همچنان زیان می‌كند و اگر(S>K+C) شد، دارندهء اختیار خرید وارد مرحلهء سود می‌شود‌. بنابراین ارزش اختیار خرید در تاریخ سررسید برابر است با ,S-K)۰Max ( ‌. یعنی اگر قیمت بازار بالاتر از قیمت توافقی بود اختیار ارزشمند است، در غیر این صورت، ارزش آن برابر صفر است و اعمال نمی‌شود. بدیهی است كه وضعیت سود و زیان فروشندهء اختیار برعكس خواهد بود.
● اختیار فروش:
اختیار فروش، قراردادی است كه به موجب آن دارندهء اختیار می‌تواند در تاریخ مشخصی از آینده (تاریخ سررسید) دارایی خاصی (دارایی پایه) را با قیمت توافقی (كه امروز تعیین می‌شود) بفروشد‌. خریدار اختیار فروش برای دریافت چنین حقی (كه یك دارایی را در صورتی كه به نفعش باشد به قیمت خاص از پیش تعیین شده‌ای به طرف مقابل بفروشد) مبلغی را پرداخت می‌كند كه به قیمت اختیار فروش معروف است و فروشندهء اختیار، آن را دریافت می‌كند‌. باز هم دارندهء اختیار این حق را دارد كه از اختیار خود استفاده كند یا نكند‌.
در این‌جا اگر در تاریخ سررسید قیمت بازار دارایی پایین‌تر از قیمت توافقی بود، دارندهء اختیار به جای این‌كه دارایی خود را در بازار با قیمت S بفروشد، دارایی را با قیمت K (كه بزرگ‌تر از S است) به فروشندهء اختیار می‌فروشد و در غیر این‌صورت اختیار خود را اعمال نمی‌كند‌. ارزش اختیار فروش هم در تاریخ سررسید , K-S)۰Max( است.
در هر دو اختیار معامله (خرید یا فروش) گفته می‌شود كه دارندهء (خریدار) اختیار در وضعیت Long قرار دارد و فروشندهء اختیار در وضعیت Short .
● اختیار معاملهء اروپایی و آمریكایی
اختیار معاملهء اروپایی فقط در تاریخ سررسید قابل اعمال است در حالی ‌كه اختیار معاملهء آمریكایی در هر زمانی از انعقاد قرارداد تا تاریخ سررسید قابل اعمال است‌.
● رابطهء تعادلی اختیار خرید- اختیار فروش
رابطهء تعادلی اختیار خرید- اختیار فروش در حقیقت رابطهء بین قیمت اختیار خرید اروپایی و اختیار فروش اروپایی است در شرایطی كه هر دو دارای یك قیمت توافقی و یك تاریخ سررسید باشند‌. از این طریق با داشتن قیمت یكی، قیمت دیگری به دست می‌آید‌. این رابطه به‌صورت زیر است (از راست بخوانید) :
قیمت اختیار خرید+ ارزش فعلی قیمت توافقی = قیمت سهم+ قیمت اختیار فروش
فرض كنید قیمت سهمی ۹۸ تومان است‌. قیمت اختیار اروپایی روی این سهم با قیمت توافقی ۱۰۰ تومان و تاریخ انقضای ۹ ماه آینده، ۰۷/۹ تومان است‌. نرخ بهره ۵/۴ درصد است‌. قیمت اختیار فروش با همان قیمت توافقی و همان تاریخ انقضا به طریق زیر محاسبه می‌شود :
▪ ارزش اختیار فروش:
عامل _،عامل تنزیل _۹ ماهه ۷۵۵/۰ سال) با نرخ ۵/۴ درصد است‌. فرض شده است كه به ‌صورت پیوسته مركب می‌شود .
تبیین رابطهء تعادلی _اختیار خرید- اختیار فروش
برای تبیین این رابطه از همان فرصت آربیتراژی استفاده می‌كنم‌. فرض كنید دو پورتفولیو داریم‌. پورتفولیوی اول شامل اختیار خرید (با قیمت توافقی K و تاریخ سررسید (t و مقداری اوراق قرضه (كه ارزش آن در تاریخ سررسید و با نرخ تنزیل بدون ریسك، K است) داریم‌. به این ترتیب ارزش فعلی اوراق قرضه معادل _ است كه در آن i نرخ بهرهء بدون ریسك و t زمان تا سررسید است‌. پورتفولیوی دوم هم شامل یك سهم (همان سهمی كه دارایی پایهء اختیار معامله‌هاست) و یك اختیار فروش با همان تاریخ انقضا و قیمت توافقی (K) است.
فارغ از این‌كه قیمت سهم مورد نظر در تاریخ انقضا چقدر باشد ارزش این دو پورتفولیو یكسان خواهد بود‌. برای توضیح بیش‌تر فرض كنید كه قیمت سهم (S) كم‌تر از قیمت توافقی (K) باشد‌. در این صورت در پورتفولیوی اول اختیار خرید ارزشی معادل صفر خواهد داشت و اوراق قرضه هم ارزشی معادل K و در نتیجه ارزش كل پورتفولیو K خواهد بود‌. در پورتفولیوی دوم ارزش سهم S خواهد بود و ارزش اختیار فروش K-S و این پورتفولیو در مجموع معادل K ارزش خواهد داشت كه با پورتفولیوی اول برابر است‌. بسیار ساده می‌توانید به نتیجه برسید كه اگرS>K باشد هر دو پورتفولیو ارزشی معادلS خواهند داشت‌. چون تحت هر شرایطی ارزش آیندهء این دو پورتفولیو یكسان خواهد بود طبق قانون تك قیمتی ارزش حال این دو پورتفولیو نیز باید یكسان باشد‌.
یعنی :
این همان رابطهء تعادلی اختیار خرید- اختیار فروش است‌. در این رابطه قیمت سهم در زمان صفر است‌. این رابطه تا دورهء سررسید برقرار است‌. برای مثال اگر در زمان t باشیم و به اندازه T-t به سررسید مانده باشد داریم :
اگر این رابطهء تعادلی برقرار نباشد می‌توان با خرید پورتفولیوی ارزان و فروش پورتفولیوی گران‌تر سود به دست بیاوریم، چون این دو پورتفولیو در سررسید، ارزش یكسان دارند‌. این رابطه را به شیوه‌های مختلف نشان می‌دهند به عنوان مثال:
در آن T-tزمان مانده تا سررسید است‌. علامت منفی پشت هر كدام از ابزارهای مالی (در معادلهء بالا پشت سهام) به معنای فروش آن ابزار است‌. ( موقعیت (Short
زیبایی این رابطهء تعادلی اختیار خرید-اختیار فروش در این است كه این رابطهء تعادلی، مستقل از مدل است‌. یعنی به چگونگی رفتار قیمت سهام مربوط نیست‌.
این درحالی است كه ارزش خود اختیار خرید و فروش به این رفتار (و به‌ خصوص نوسانات قیمت سهام) وابسته است‌. چنین استقلالی از مدل در موارد كمی در مدیریت مالی دیده می‌شود كه از آن ‌جمله می‌توان به رابطهء بین قیمت قرارداد آتی و قیمت دارایی پایه و همچنین رابطهء بین اوراق قرضه و قراردادهای تاخت اشاره كرد‌.

دانشجوی دكترای مدیریت مالی
برگرفته از بولتن الكترونیكی متسا
www.iran-invest.org

منبع : روزنامه سرمایه