واژگان جبر

● عمل دوتایی
یک عمل دو تایی روی مجموعه ی ناتهی G عبارت است تابعی چون f از G.G به G به طوری که در آن G.G به شکل { a,b):a,b belongs to G)} تعریف شده باشد. Twice Action
● بسته
مجموعه ی ناتهی G تحت عمل * بسته است هرگاه به ازای هرb,a متعلق به a*b ، G نیزعضوی از G باشد. Close
● شرکت پذیر
(*,G) شرکت پذیر است هرگاه به ازای هر سه عنصر c,b,a متعلق به G، رابطه ی (a*b)*c=a*(b*c) برقرار باشد. Associative
● نیم گروه مجموعه ی
(*,G) یک نیم گروه است هرگاه تحت * بسته و شرکت پذیر باشد. Semi Group
● جا به جایی مجموعه ی
(*,G) واجد خاصیت جابه جایی است هرگاه برای هر b,a متعلق به G شرط a*b=b*a برقرار باشد. Commutative
● عضو خنثی
اگر (*,G) تعریف شده باشد،درصورتی که عنصری مانند e در G یافت شود به طوری که به ازای هر a متعلق به G داشته باشیم: a*e=e*a=a، آنگاه e را عضو خنثی G می نامند. Identify Element
● عنصر وارون
اگر (*,G) تعریف شده باشد و e عضو خنثی G تحت * باشد،برای هر a در G، عنصر &#۰۳۹;a را که خود نیز به G تعلق دارد،وارون a نامند هرگاه:a*a&#۰۳۹;=a&#۰۳۹;*a=e Inverse Element
● گروه
اگر G یک مجموعه ی ناتهی باشد، دراینصورت (*,G) گروه است هرگاه G تحت * بسته، شرکت پذی، دارای عضو خنثی و همچنین هر عضو G دارای وارون باشد. Group
▪ گروه جا به جایی
گروهی که در آن قانون جا به جایی برقرار باشد گروه جا به جایی ( آبلی) نام دارد. Abelian Group
▪ زیر گروه
هر زیر مجموعه ی ناتهی از اعضای گروه که با عمل گروه خود یک گروه باشد، زیرگروه نام دارد. Subgroup
▪ مرکز گروه
مجموعه ی {C(G)={c belongs to G: g*c=c*g ; for all g belongs to G را که گاهی با (Z(G نیز نمایش داده می شود، مرکز گروه نام دارد. Center of Group
▪ گروه دوری
گروه G دوری است هرگاه توسط یک عنصر خودش تولید شود. Cyclic Group
● مولد
گروه اگر عنصر x متعلق به گروه دوری G بتواند آن را پدید آورد، آنگاه x را مولد G می خوانند. Generator of Group
● مرتبه ی گروه
تعداد اعضای هر گروه را مرتبه ی آن گروه می نامند. Order of Group
● مرتبه ی عضو
مرتبه ی عضو a متعلق به گروه G ،کوچکترین عدد طبیعی است که اگر a به توان آن رسد، با عنصر خنثی گروه برابر باشد. Order of Element
● تابع
اگر دو مجموعه ی A و B که عناصرشان اشیاء دلخواهی هستند، به طوری مفروض باشند که به هرعنصر x از A، عنصری از B که آن را با (f(x نشان می دهند، مربوط شده باشد، آنگاه f را یک تابع از A به B گویند. Function
▪ برد
در تعریف تابع، (f(x ها را مقادیر f و مجموعه ی تمام مقادیر f را برد f می خوانند. Range
▪ دامنه
در تعریف تابع، مجموعه ی A را دامنه تابع f می نامند. Domain
▪ تابع معکوس
در تعریف تابع، هرگاه مجموعه E زیر مجموعه ای از B باشد، تابع معکوس E، مجموعه ی تمام xهایی در A است که مقادیرشان در E باشد. Inverse Function
▪ تابع
یک به یک در تعریف تابع، هرگاه به ازای هر عنصر دلخواه y در B، تابع معکوس f حداکثر شامل یک عنصر از A باشد، آنگاه f یک نگاشت ۱-۱ از A به توی B نام دارد. Injective Functoin (one-to-one)
▪ تابع پوشا
در تعریف تابع، اگر f(A)=B آنگاه f را یک تابع پوشا گویند. Surjective Function
● همریختی
اگر G و G دو گروه باشند، آنگاه نگاشت f از G به G یک همریختی است اگر به ازای هر a و b متعلق G به داشته باشیم: f(ab)=f(a).f(b) Homomorphism
▪ تکریختی
همریختی f را تکریختی نامیم اگر f یک به یک باشد. Monomorphism
▪ برو ریختی
همریختی f را برو ریختی نامیم اگر f پوشا باشد. Epimorphism
▪ یکریختی
هر تکریختی که برو باشد یکریختی نام دارد. Isomorphism
▪ خودریختی
هر یکریختی از G به خود G یک خودریختی نامیده می شود. Automorphism
زیرگروه نرمال زیر گروه N از گروه G نرمال است هرگاه برای هر عنصر a متعلق به G خاصیت aN=Na برقرار باشد. Normal Subgroup
● گروه خارج
قسمتی اگر N در G نرمال باشد، آنگاه می توان G/N را تعریف کرد. G/N که یک گروه خارج قسمتی نامیده می شود زیر گروهی از G است. Quotient Group
ضرب مستقیم گروه ها اگر (*,G) و (G,o) دو گروه باشند،مجموعه ی {G.H={(g,h): g belongs to G & h belongs to H حاصل ضرب مستقیم آن ها نامیده می شود. Direct Products of Group
▪ گروه جایگشتی
اگر Sn را مجموعه ی تمام توابع یک به یک و پوشا از {n,...,۲,۱} به {n,...,۲,۱} در نظر بگیریم، آنگاه مجموعه ی Sn همراه با عمل ترکیب توابع یک گروه جایگشتی نامیده می شود. Permutation Group
● حلقه
(R,*,o) را یک حلقه گوییم هرگاه (*,R) گروهی جا به جایی و (R,o) نیم گروه باشد و همچنین به ازای هرc,b,a متعلق به R دو خاصیت (ao(b*c)=(aob)*(aoc و(b*c)oa=(boa)*(coa) برقرار باشد. Ring
▪ حلقه جا به جایی
اگر R نسبت به عمل دوم جا به جایی باشد، آن را حلقه ی جا به جایی نامند. Commutative Ring
▪ حلقه ی تقسیم
اگر در حلقه ی یکدار R همه ی عناصر(به جز عنصر صفر) وارون پذیر باشند، آنگاه R حلقه ی تقسیم نامیده می شود. Devise Ring
▪ میدان حلقه ی
تقسیم جا به جایی را میدان گویند. Field
▪ زیر حلقه
زیر مجموعه ی نا تهی S از حلقه ی R یک زیر حلقه است هرگاه با همان اعمال R تشکیل حلقه دهد. Subring
▪ ایده آل
زیر مجموعه ی نا تهی I از حلقه ی R یک ایده آل است هرگاه به ازای هر b,a متعلق به I و هر r متعلق به R : الف) a+b متعلق به I باشد.ب) a- متعلق به I باشد.ج) r.a متعلق به I باشد.