مدل‌های رگرسیون (Regression Models)

مدل‌هاى رگرسيون (Regression Models)

مدل‌هاى رگرسيون بر اساس اين نظريه ساخته شده‌اند که اگر دو عامل به يکديگر بستگى داشته باشند، تغيير يکى با تغيير ديگرى قرين خواهد شد. هر قدر ارتباط دو عامل مزبور به يکديگر نزديک‌تر و قوى‌تر باشد، ضريب همبستگى تغييرات آنها بزرگ‌تر و به‌ حداکثر همبستگي، يعنى يک، نزديک‌تر خواهد شد. پس اگر روند گذشته نشان دهد که بين تغيير يک عامل و تغييرات چند عامل ديگر همبستگى معنى‌دارى وجود دارد، مى‌توان تصور کرد که در آينده نيز همبستگى مزبور حفظ خواهد شد و اگر ضريب همبستگى مزبور را بدانيم، مى‌توانيم اندازهٔ تغيير عامل وابسته را از اندازه و تغيير عوامل مستقل مرتبط با آن اندازه‌گيرى و پيش‌بينى کنيم.

مدل‌هاى رگرسيون انواع مختلفى دارد و متداول‌ترين آنها رگرسيون ساده و رگرسيون مرکب مى‌باشد. رگرسيون ساده شامل ارتباط بين دو متغير است و به شکل معادله ۶ نشان داده مى‌شود.

(معادلهٔ ۶):

y = a + bx

(معادلهٔ ۷):

b = r(Sy / Sx)

در اين نوع رگرسيون، y متغير وابسته و x متغير مستقل خوانده مى‌شود و b ضريب رگرسيون است که اندازهٔ آن طبق معادلهٔ ۷، بستگى به ضريب همبستگى بين x و y و انحرافات استاندارد آن دو دارد.

که در آن:

ضريب رگرسيون

b =

ضريب همبستگى بين x و y

r =

انحراف استاندارد متغير وابسته

Sy =

انحراف استاندارد متغير مستقل

Sx =

اگر مقادير عددى a و b در معادله شماره ۶ معلوم شود، اندازهٔ y را مى‌توان از اندازه x معلوم کرد؛ مثلاً، براى پيش‌بينى تعداد شاگردان گروه سنى ۶ ساله مى‌توان از مدل رگرسيون ساده‌اى نظير مدل فرضى ۶ استفاده کرد.

(مدل فرضى ۶):

(yt)۶=۱/۰۲ x (t-۶) - ۷۸۹۱/۳

که در آن:

تعداد شاگردان گروه سنى ۶ ساله در سال t

(yt)۶ =

تعداد متولد شدگان سال (۶ - t)

X(t - ۶) =

ضريب رگرسيون

b = ۱/۰۲

a = -۷۸۹۱/۳

مقادير عددى a و b از مقايسهٔ تعداد شاگردان گروه سنى ۶ ساله و تعداد متولدين شش سال قبل در ادوار گذشته در يک کشور فرضى محاسبه شده‌اند.

رگرسيون مرکب، ارتباط يک متغير را با دو يا تعداد بيشترى متغير به شکل معادلهٔ ۸ نشان مى‌دهد.

(معادلهٔ ۸):

Y = a + b۱x۱ + b۲x۲ + ....bnXn

در معادلهٔ شماره ۸، متغير y را متغير وابسته، و متغيرهاى x_۱ و x_۲...x_n را متغيرهاى مستقل مى‌نامند، b_۱ , b_۲ .....b_n نيز ضريب‌هاى رگرسيون مى‌باشند. بدين معنى که هر يک از آنها رابطهٔ بين متغير وابسته را با يکى از متغيرهاى متسقل، در شرايطى که ديگر متغيرهاى مستقل ثابت باشند، نشان مى‌دهد. منظور از متغير وابسته متغيرى است که اندازهٔ آن وابسته به ديگر متغيرها است و مى‌خواهيم آن را از اندازهٔ متغيرهاى ديگر که آنها را متغيرهاى مستقل مى‌نامند، تخمين بزنيم.

مثلاً، اگر بخواهيم نمره آزمون پيشرفت تحصيلى دانش‌آموزى را با توجه به سن و نمرهٔ هوش او تخمين بزنيم مى‌توانيم از معادله‌اى مانند معادلهٔ شمار ۹ استفاده کنيم.

(معادلهٔ ۹):

K = a۱ + b۱S + b۲H

نمرهٔ آزمون پيشرفت تحصيلى شاگرد (متغير وابسته)

K =

سن شاگرد (متغير مستقل اول)

s =

بهره يا ضريب هوش شاگرد (متغير مستقل دوم)

H =

ضريب رگرسيون پيشرفت تحصيلى روى سن شاگرد (اگر بهره هوش ثابت باشد)

b۱ =

ضريب رگرسيون پيشرفت تحصيلى روى بهره هوش شاگرد (اگر سن ثابت باشد).

b۲ =

اگر مقادير سه متغير فوق (H,S,K,) در مورد گروهى از شاگردان معلوم باشد، با کمک آن مى‌توان ضرايب ثابت (a,b_۲,b_۱) را محاسبه کرد. فرض کنيم:

a = ۲۷

b_۱ = ۲/۵

b_۲ = ۰/۳

در اين صورت، بنا بر معادلهٔ شمار ۹، نمرهٔ پيشرفت تحصيلى شاگردى که سن وى ۱۲ سال و بهره هوشى آن ۱۱۰ است، در حدود ۹۰ تخمين زده مى‌شود.

K = ۲۷ + ۲/۵ + ۱۲ + ۰/۳ + ۱۱۰ = ۹۰

استفاده از مدل‌هاى رگرسيون متضمن پيش‌فرض‌هايى است که پذيرش آنها در بعضى موارد معقول و منطقى به‌نظر نمى‌رسد. يکى از پيش‌فرض‌هاى مهم رگرسيون اين است که شرايط زمان محاسبه ضرايب يا به عبارت ديگر، روابطى که بين متغير وابسته و متغيرهاى مستقل در گذشته وجود داشته است، در آينده نيز به همان ترتيب باقى بماند. اين پيش‌فرض در برنامه‌ريزى‌هاى آموزشى چندان معقول به‌نظر نمى‌رسد؛ زيرا نيازهاى اجتماعى و نيروى انسانى مرتباً در حال تغيير و دگرگونى است.

پيش‌فرض ديگر رگرسيون مرکب اين است که اثر متغيرهاى مستقل، به قرارى که در معادلهٔ ۸ نشان داده شده است، روى هم جمع مى‌شود. اين پيش‌فرض نيز اکثراً جاى بحث دارد؛ زيرا متغيرهاى مزبور در عمل کاملاً مستقل از يکديگر نيستند و اثر مجموع آنها، بيشتر اوقات کمتر از مجموع اثرهاى تک‌تک آنها است.

هر چند اندازهٔ يک متغير وابسته را مى‌توان بر اساس اندازهٔ چند متغير مستقل، با کمک فرمول‌هايى نظير فرمول‌هاى رگرسيون، اندازه گرفت و تخمين زد، ولى در اين نوع اندازه‌گيرى به محدوديت‌هاى (constraints) متغيرهاى مزبور توجه نمى‌شود؛ مثلاً، اگر بخواهيم بودجهٔ سرمايه‌اى و بودجه جارى آموزش و پرورش را در سال t تخمين بزنيم، بايد متوجه باشيم که مجموع آن دو از رقم کل اعتبارات آموزش و پرورش افزون‌تر نشود. به عبارت ديگر، ارقام دو متغير مزبور محدوديتى دارد که در فرمول رگرسيون به آن توجه نمى‌شود.