ریاضیات و سایر علوم

●ریاضی فیزیک
▪نگرش کلی:
فیزیک علمی است که قوانین حاکم بر جهان طبیعت را بصورت مدون بیان می کند. بنابراین برای ارائه این قوانین بصورت معادلات و روابط ریاضی ، لازم است که یک فیزیکدان باید با اصول و قوانین اساسی ریاضی آشنا باشد.
التبه در بعضی از علوم دیگر مانند شیمی نیز این ضرورت احساس می شود، ولی اغراق آمیز نیست بگوییم که ریاضیات بعنوان الفبای فیزیک می باشد. این ضرورت سبب شده است که درسی تحت عنوان روشهای ریاضی در فیزیک ایجاد شود.
▪ضرورت با هم بودن ریاضی و فیزیک:
اگر تاریخچه پیدایش علوم را مورد توجه قرار دهیم. ملاحظه می گردد که فیزیک در ریاضی معمولا پا به پای هم گسترش و رشد یافته اند. و اکثر فیزیکدانان قدیمی ، ریاضیدان نیز بوده اند. بعنوان مثال به اسحاق نیوتن ، گالیله و دیگران اشاره کرد. علاوه بر این هر مبحث فیزیک را مد نظر قرار دهیم، ملاحظه می کنیم که به نوعی دریایی از ریاضیات در آن وجود دارد.
به فرض اگر مبحث سینماتیک حرکت را مورد توجه قرار دهیم، خواهیم دید که اگر بخواهیم سرعت و یا شتاب را تعریف کنیم، بایستی با قوانین مشتقگیری آشنا باشیم تا بتوانیم بگوییم که مشتق مکان در هر لحظه برابر سرعت لحظه ای و مشتق سرعت در هر لحظه ، شتاب لحظه ای خواهد بود.
●اولین قدم در ریاضی فیزیک:
اولین گام در مطالعه ریاضی فیزیک ، آشنایی با آنالیز برداری است. چون مفاهیم برداری نقش اساسی را در فیزیک بازی می کند. یعنی زمانی که یک کمیت فیزیکی را تعریف می کنیم، ابتدا باید به آنالیز برداری مراجعه کرده و تکلیف این کمیت را از لحاظ برداری ، اسکالر بودن مشخض کنیم، تا بعد بتوانیم خواص و ویژگیهای این کمیت را بیان کنیم.
●پایه های ریاضی فیزیک:
آنالیز برداری
دستگاههای مختصات
جبر برداری
جبر کلیدی
جبر لی
قضایای برداری
قوانین تبدیل مختصات به یکدیگر
جبر تانسوری
دترمنیان ، ماتریس و نظریه گروه
توابع مختلط
توابع مختلط
جبر توابع مختلط
بسطهای توابع مختلف
حساب مانده‌ها
توابع خاص
●آینده ریاضی فیزیک:
امروزه با پیشرفت علوم کامپیوتری که توانایی انجام محاسبات بسیار پیچیده ریاضی را در زمانهای بسیار کوتاه دارند، بیشتر فعالیتها در راستای استفاده هر چه بیشتر از رایانه برای حل معادلات ریاضی ، محاسبات طولانی ریاضی ، قرار دارد. به عبارت دیگر پیشرفت علوم ریاضی بویژه ریاضی فیزیک با پیشرفت علوم کامپیوتری همسو شده است.
احتمال و آمار و همچنین سایر علوم رسالت دارند تا بتوانند حوادث پیرامون ما را توضیح دهند. دلیل آنها را روشن سازند و رفتار آنها را تعیین کنند. برای تبیین برخی از پدیده ها لازم است مباحث مختلفی از علوم دست به دست یکدیگر بدهند. در ژنتیک با استفاده از مباحث زیست شناسی، احتمال و ریاضیات، پدیده ها را می توان توصیف و پیش بینی های لازم را به عمل آورد.
●احتمال و ژنتیک
▪وراثت و ژنتیک
انسانها دارای صفتهای اکتسابی و ارثی هستند. صفتهای ارثی؛ صفاتی هستند که از آغاز تولد همراه انسان بوده و تا آخر عمر ثابت می مانند. این صفتها از والدین به او می رسند و او نیز آنها را به نسل و حتی نسلهای بعدی انتقال می دهد. این انتقال به وسیله ژنها انجام می پذیرد. برای هر صفتی ژن خاصی وجود دارد که نوزاد از والدین خود به ارث می برد. برای آن که موضوع روشن شود؛ موضوع RH خون را در نظر می گیریم. عامل تعیین کننده RH خون ژنی است که سبب می شود RH خون مثبت و یا منفی شود و هر ژن از دو قسمت تشکیل یافته است که یک قسمت آن از پدر و یک قسمت دیگر آن از مادر به نوزاد می رسد. اکنون اگر این دو بخش، هر دو از نوع RH منفی باشند، گروه خونی نوزاد منفی خواهد بود و در غیر این صورت RH خون نوزاد مثبت خواهد شد. در این گونه موارد، می گویند ژن RH مثبت غالب است (بر ژن RH منفی چیره می شود). معمولاً ژن های را با حروف انگلیسی نشان می دهند. اگر ژنی غالب باشد، آن را حرف بزرگ و اگر مغلوب باشد، با حرف کوچک نشان می دهند. مثلاً اگر ژن تعیین کننده RH خون را با R نشان دهیم، آن گاه: R عامل تعیین کننده RH مثبت و تعیین کننده منفی RH است. پس اگر ژن مربوط به تعیین RH خون فرزندی به یکی از صورتهای Rr، RR و r R باشد، RH خونی او مثبت خواهد شد. فقط در حالت است که RH او منفی می شود. حالت زیر را برای والدین در نظر بگیرید.
الف: مادر به صورت RR و پدر نیز به صورت RR باشند. در این صورت فرزند آنها نیز مسلماً دارای ژن RR خواهد بود و در نتیجه RH او مثبت است.
ب: مادر به صورت rr و پدر نیز به صورت rr باشند. در این صورت فرزند آنها دارای ژن rr است و RH خون او منفی است.
ج: مادر به صورت Rr و پدر به صورت RR باشد، در این صورت فرزند به یکی از دو صورت RR و یا Rr است که در هر حال RH او مثبت است.
د: مادر به صورتRr و پدر به صورت Rr باشد، در این صورت فرزند به صورت RR، یا Rr و یا rr خواهد بود؛ که در حالت اول RH مثبت و فقط در حالت آخر RH منفی است. اکنون احتمال آن که فرزند چنین والدینی دارای مثبت باشد، چه قدر است؟ برای پاسخگویی به این سوال شکل زیر را در نظر می گیریم:
چون هر یک از این ترکیبها به تصادف انجام می شود، احتمال آن که این قبیل پدران و مادران فرزندی با مثبت باشند، برابر و احتمال ان که فرزند منفی باشند است.
هـ: اگر مادر به صورت Rr و پدر به صورت rr باشد، در این صورت شکل زیر را داریم:
در این حالت احتمال آن که فرزندی دارای مثبت باشد، برابر و احتمال آن که دارای منفی باشد نیز برابر است.
به همین ترتیب می توان سایر حالات نیز نمودار نظیر را رسم و احتمالها را حساب کرد.
اگر تنوع صفت بیش از ۲ باشد (مثبت و منفی)، انتقال صفات به این سادگی انجام نمی پذیرید و در آن جا باید با مطالعات گسترده درباره غالب و مغلوب بودن ژنها، قانون انتقال را تعیین کرد، مثلاً درباره رنگ چشم این مشکل وجود دارد. ولی در مطالعات نظری گذشته از برخی از حالات، معمولاً رنگ چشم تیره را غالب و رنگ چشن روشن را مغلوب فرض می کنند.
مثال: پدری دارای رنگ چشم و مادر دارای ژن رنگ چشم است
●ریاضیات و صنعت
کاربردهای ریاضیات،بی اندازه زیاد و بسیار گوناگون است.در واقع به کار بردن روشهای ریاضی مرزی نمیشناسد: همه شکلهای مختلف ، حرکت ماده را میتوان با روش ریاضی بررسی کرد.البته،نقش و اهمیت روش ریاضی در حالتهای مختلف متفاوت است.هیچ طرح معین ریاضی نمیتوانداز عهده بیان همه ویژگیهای پدیده های حقیقی برآید.وقتی میخواهیم پدیدهای را بررسی کنیم،شکل خاصی از آن را در معرض تحلیل منطقی قرار میدهیم،در ضمن تلاش میکنیم نکته هایی را بیابیم که،در این شکل جدا شده از پدیده واقعی وجود نداردو شکلهای تازهای پیدا کنیم که بیشتر و کاملتر، در برگیرنده پدیده ما باشد.
ولی اگر در هر گام تازه، نیاز به بررسی کیفی جهتهای تازهای از پدیده باشد.روش ریاضی،خود را عقب میکشد.در این جا تحلیل منطقی همه ویژگیهای پدیده، تنها میتواند طرح ریزی ریاضی را مبهم کند.ولی اگر شکلهای ساده و پایدار یک پدیده یا یک روند بتواند تمامی پدیده یا روند را با دقت و به طور کامل بپوشاند،اما در مرزهای این شکل مشخص ،به جنبه های پیچیده و دشواری برخورد کنیم، نیاز به بررسی ریاضی و بویؤه استفاده از نمادها و جستو جوی الگوریتم خاص برای حل آنها پیدا شود. این جاست که در قلمرو فرمانروایی روشهای ریاضی قرار میگیریم.
همان طور که از بررسی تاریخ بر می آید. آغاز حساب و هندسه مقدماتی، به طور کامل زیر تاثیر خواستهای مستقیم زندگی و عمل بود. اندیشه ها وروشهای تازه بعدی ریاضی هم، با توجه به خواستهای عملی دانشهای طبیعی (اختر شناسی، مکانیک، فیزیک و غیره)، که پیوسته در حال پیشرفت بود، شکل می گرفت. بستگی مستقیم ریاضیات یا صنعت، اغلب به صورت به کار گرفتن نظریه های موجود ریاضی در مساله های صنعتی، جلوه می کند.
▪نمونه ها
حال، از نمونه هایی یاد می کنیم. که بر اثر خواست مستقیم صنعت نظریه های کلی ریاضی به وجود آمده است. روش کمترین مربعات به دلیل نیازهای نقشه برداری پدید آمد بسیاری از حالتهای تازه معادله های دیفرانسیلی، برای نخستین بار برای حل مساله های مربوط به صنعت، طرح و بررسی شد. روشهای اپراتوری حل معادله های دیفرانسیلی، در رابطه با الکترونیک تکامل یافت و غیره.
به خاطر نیازهای ارتباطی، شاخه تازه ای به نام انفورماسیون در نظریه احتمال به وجود آمد. مساله های مربوط به ترکیب دستگاههای مدیریت، منجر به پیشرفت دیفرانسیل به جز نیازهای اخترشناسی، مساله های مربوط به صنعت هم نقش اساسی داشته است: بسیاری از این روشها، به طور کامل با تکیه بر زمینه های صنعتی و مهندسی پدید آمدند. با پیچیده تر شدن صنعت و دشواریهای ناشی از آن مساله به دست آوردن سریع جوابهای عددی، اهمیت زیادی پیدا می کند. با امکانهایی که در نتیجه کشف ماشینهای محاسبه برای حل عملی مساله ها به وجود آمد، روشهای محاسبه ای باز هم اهمیت بیشتری پیدا کرد. ریاضیات محاسبه ای، برای حل بسیاری از مساله های عملی و از جمله مساله های مربوط به انرژی اتمی و بررسیهای فضایی، نقشی جدی به عهده دارد.
●ریاضیات و شیمی
▪تاریخجه
"فردریش وهلر" ، درباره شیمی آلی گفت:
"امروز شیمی آلی مرا دیوانه می سازد. به نظر من شیمی آلی به جنگل مناطق حاره دوران گذشته زمین شناسی شباهت دارد... یک جنگل وحشتناک بی انتها که کسی جرات ورود به آن را ندارد، زیرا می‌داند که راه خروجی برایش وجود ندارد."
درست ۴۰ سال بعد از وهلر یعنی در سال ۱۸۷۵ دانشمندی به نام "کیلی" که یک ریاضیدان بود ادعا کرد که توانسته است تعداد ایزومرهای آلکانها را تا C۱۲H۲۶ به روشهای ریاضی بشمارد. او ۳۵۷ ایزومر به این ترکیب نسبت داد. ۵ سال بعد ، یعنی در سال ۱۸۸۰، "هرمان" ، ریاضی دان بنام آلمانی ، ادعای کیلی را رد و ۳۵۵ ایزومر را به ترکیب یاد شده نسبت داد و تعداد ایزومر آلکانها تا ۱۵ کربن را هم مشخص کرد.
بعدها روش هرمان مورد تایید قرار گرفت. اما در سال ۱۹۳۷، "پولیا" ریاضی دان مجاری ، قضیه مشهور خود در شمارش را که اساساً بر مبنای شمارش ایزومرها بود در نشریه Acta Mata منتشر کرد. این مقاله ۵۰ سال بعد پس از مرگ پولیا و به مناسبت صدمین سال تولدش به انگلیسی ترجمه شد. در واقع پولیا از اولین کسانی بود که نظریه گراف‌ها را به دنیای کیمیاگران معرفی کرد.
▪پیشرفت ارتباط شیمی و ریاضیات گسسته
پیشرفتهای سریع و همه جانبه علوم و تکنولوژی ، مسایل جدیدی را مطرح ساخته است. طبیعت متناهی (و گاه نامتناهی ولی گسسته) بسیاری از این مسایل همراه با بکارگیری ابزار جایگزین ناپذیر کامپیوتر ، ریاضیات مناسبی غیر از حساب دیفرانسیل و انتگرال سنتی ، آنچه دانشجویان مقطع کارشناسی طی ۱۱ واحد می گذرانند ، را طلب می‌کند. در این چارچوب است که ریاضیات خصلت مدل‌سازی خود را آشکار می‌سازد و این بار در قالب ریاضیات گسسته به بیان دقیقتر مسایل مطرح شده پرداخته و سپس با ابداع الگوریتمهای مناسب و پیاده سازی کامپیوتری آنها به حل مسایل می‌پردازد.
▪نظریه گروهها در شیمی
شاید بتوان گفت که بکارگیری نظریه گروهها در شیمی ، اولین استفاده شیمیدانها از ریاضیات گسسته در شیمی محض بوده که اکنون دست و پا شکسته در سرفصلهای دوره کارشناسی شیمی گنجانده شده است. ولی نظریه گراف‌ها و کاربرد توپولوژی در شیمی به واقع برای دانشجویان و حتی برخی محققان ما عنوانی مهجور و ناآشناست و حتی آنجا که جمع خطی اوربیتالهای اتمی LCAO تدریس می‌شود و برای گراف‌های مولکولی ماتریس مجاورت نوشته می‌شود، کمتر استادی به نظریه گرافها و ریاضیات گسسته اشاره می‌کند و عدم پیگیری دانشجویان هم بر ادامه این جهل دامن می‌زند.