هندسه فرکتالها

دراین مقاله می كوشیم تا نقش ریاضیات را از رهگذر مفاهیم فیزیك جدید، در دنیای زیبا و چندنظمی نانو نشان دهیم.
اغلب اشیاء در جهان -از كوچكترین تا بزرگترین- از مجموعه از المانها تشكیل شده است كه هر یك دارای درجه‌ای از آزادی هستند. قوانین پایه‌ای فیزیك این ویژگیها را توضیح می‌دهند. اكنون فرض كنید كه می‌خواهید معادلهٔ نیوتن یا شرودینگر را برای ۱۰۲۳ اتم حل كنید؟ و فرض كنید كه قویترین رایانه ها را نیز در اختیار دارید، آیا این امر مقدور است؟ از دیدگاه اتمی پاسخ این سؤال به نظر منفی می‌رسد.
حل مسأله با در نظر گرفته ۱۰۲۳ اتم زمان زیادی می‌گیرد و نتایج برای تفسیر كاملاً پیچیده می‌شود (هیچ فضای دیسك سختی قادر به ذخیره‌سازی موقعیت ۱۰۲۳ اتم نمی‌باشد)
علاوه بر این، برای هر ماده، هر تركیب شیمیایی و ساختار شبكه‌ای مجبور به بارها و بارها محاسبه هستیم. علاوه بر این با زمینه‌های منحصر به فردی از رفتار مواد در فازهای انتقالی جامد، مایع، گاز، پلاسما، فرومغناطیس و ضدفرومغناطیس، ابررسانائی، ابر سیالی و .... مواجهیم. خواص مكانیكی ماده در هر فاز، از فازی به فازی دیگر، متفاوت است. زیرا اتمها دارای درجه آزادی هستند و بعلاوه، پارامترهایی نظیر دما، فشار، نیروی خارجی از فازی به فاز دیگر به شدت تغییر می‌كند.
اما سؤال اساسی اینجاست كه چگونه رفتار آنها در گذر فاز می‌توان ارتباط داد؟ اگر رفتار مواد را تحت شرایط آزمایشگاهی، در گسترهٔ وسیعی از حالات بررسی كنیم، پارامترهای متعددی را در خواهیم یافت كه قادرند شكل مسأله را عوض كنند. اما از سوی دیگر توانائی محاسباتی ما محدود است، بنابراین تقریب مقدور است اما پیشگوئی در چنین مواردی محدود است.
اما از سوی دیگر فیزیكدانان همواره به سوی تئوریهای جهان شمول توجه دارند. رغبت در جهت پیشگوئی رفتار جهان شمول ماده، فیزیكدانان را به سوی« تئوری پدیده‌های بحرانی» سوق داد. «مؤلفه‌های بحرانی» در یك كلاس جهانی مدلسازی قرار دارند. این مؤلفه‌ها نمایشگر مدلی جهان شمول از رفتار ماده هستند و رفتار ماده را به تقارن ماده ( در دیدگاه ساختاری) و ابعاد فضای ماده مرتبط می‌كند. این مقادیر بحرانی، با دقت مناسب بوسیله تئوری قابل محاسبه‌اند.
سیستم‌های بحرانی در« جهان فركتال »قرار دارند.
● ارزش مؤلفه‌های بحرانی در چیست؟
تئوریهای مبتنی بر آنالیز ابعادی، مقادیر نسبی برای این مؤلفه‌ها پیشگوئی می‌كنند. برای آنكه پیچیدگی مسأله را درك كنیم، یك تصویر لحظه‌ای از «اسپین» را در یك ماده «فرومغناطیس» مجسم كنید. اكنون به شكل «۲» دقت كنید. شكل «۲» نمایشگر نتایج یك شبیه سازی برای یك Ising فرو مغناطیس است. بطوریكه، اسپین‌ها می‌توانند دو حالت «بالا» (نمایش داده شده با رنگ مشكی) یا «پایین» باشد.
در حالت «فرومغناطیس»، (دما كمتر از دمای بحرانی)، اغلب «اسپین‌ها» در حالت «بالا» قرار می‌گیرند (شكل سمت چپ)، در حالیكه در حالت« پارامغناطیس» (دما بالاتر از دمای بحرانی)، اسپین‌ها جهت‌گیری تصادفی می‌كنند (شكل سمت راست، رنگ خاكستری).
در اینجا تنها خوشه‌های كوچكی از اسپین‌های هم تراز، از اندازهٔ سیستم، كوچكترند در حالیكه، در موقعیت بحرانی (شكل وسط)، كه دما به حد بحرانی رسیده است، خوشه‌های نامحدودی از اسپین‌های حالت «بالا» پدیدار شده‌اند (سیستم در مرز «نظم» قر ار گرفته است).
توجه كنید كه خوشهٔ نظم یافته شكل «فركتال»، با نوسان شكلی در همهٔ مقیاسها،به خودگرفته است. این هندسهٔ‌ فركتالی از خوشه‌های تشكیل یافته، به طرز عجیبی انعكاس می‌یابند: مقادیری غیرمنطقی از مؤلفه‌های بحرانی! و البته تئوریهای ساده ساز، مشخصات این فركتالها را نمی‌توانند تعیین كننند. از دیدگاه فیزیكی، نوسانات شكلی در همهٔ مقیاسها، متضمن ناپایداری سیستم در موقعیت بحرانی است.
● اما آیا می‌توانیم امیدوار به درك این رفتار پیچیده باشیم؟ مكانیك كلاسیك یا كوانتوم؟
زمانی كه به دنیای كوانتوم وارد می‌شویم می‌گوییم:
«قوانین كوانتوم، رفتار پایه‌ای همهٔ ذرات بنیادی را توجیه و تفسیر می‌كند». تاكنون هیچ كس دلیلی بر نادرستی این قانون ارایه نكرده است.
امروزه، فازهای انتقالی بوسیله » نوسانات دمائی» تفسیر می‌شود. در چنین مواردی، رفتار بحرانی بوسیلهٔ مدلهای كاملاً خالص مكانیك كلاسیك توجیه می‌شود. این ایده بزرگی است، زیرا تئوریهای كلاسیك از تئوریهای كوانتوم ساده‌تر است. در سایر موارد، رفتار ماده در فاز انتقالی در دمای صفر مطلق، بوسیلهٔ میزان سازی آزمایشگاهی «نوسانات كوانتومی» توجیه و اثبات می‌شود
برای این انتقال فازهای كوانتومی،«مدلهای كلاسیك» كمتر مورد استفاده قرار می‌گیرد.
● سؤالات اساسی در مدلسازی سیستم‌های نانویی:
▪ مؤلفه‌های بحرانی بصورت آزمایشگاهی چگونه تعیین می‌شوند؟ چه مؤلفه‌هایی جهانی هستند و كدامیك نیستند؟ مرجع جهان شمول بودن مؤلفه‌های بحرانی كدام است؟
▪ انتقال فاز اصلاح شده در سیستم‌های محدود (سازه‌های نانوئی) چگونه است؟
▪ رفتار بحرانی چگونه محاسبه می‌شود؟ آیا می‌توانیم «هندسهٔ فركتال» مؤلفه‌های بحرانی را درك كنیم؟
▪ ارتباط میان مؤلفه‌های بحرانی، تقارن داخلی سیستم و ابعاد مسأله، چیست؟
ارتباط میان سؤالات فوق، برای هر مسأله، چهارچوبی در جهت مطالعهٔ رفتار سازه‌های نانوئی بوجود می‌آورد.

منابع :
Resource
[۱۱] http://dynamo.ecn.purdue.edu/~photspec/spectroscopy.htm
[۱۰] Jensen R V ۱۹۹۱ Chaos ۱ ۱۰۱
[۹] Bird J P, Olatona D M, Newbury R, Taylor R P, Ishibashi K, Stopa M, Aoyagi Y, Sugano T and Ochiai Y ۱۹۹۵ Phys. Rev. B ۵۲ R۱۴ ۳۳۶
[۸] Baranger H U, Jalabert R A and Stone A D ۱۹۹۰ Phys. Rev. Lett. ۷۰ ۳۸۷۶
[۷] Mandelbrot B ۱۹۸۲ The Fractal Geometry of Nature (San Francisco, CA: Freeman)
[۶] Hegger H, Hecker K, Reckziegel G, Freimuth A, Huckestein B, Janssen M and Tuzinski R ۱۹۹۶ Phys. Rev.Lett. ۷۷ ۳۸۸۵
[۵] Ketzmerick R ۱۹۹۶ Phys. Rev. B ۵۴ ۱۰ ۸۴۱
[۴] Jalabert R A, Baranger H U and Stone A D ۱۹۹۰ Phys. Rev. Lett. ۶۵ ۲۴۴۲
[۳] Chang A M, Baranger H U, Pfeiffer L N and West K N ۱۹۹۴ Phys. Rev. Lett. ۷۳ ۲۱۱۱
[۲] Marcus C M, Rimberg A J, Westervelt R M, Hopkins P F and Gossard A C ۱۹۹۲ Phys. Rev. Lett. ۶۹ ۵۰۶
[۱] BeenakkerCWJandVanHouten H ۱۹۹۱ Quantum transport in semiconductor nanostructures Solid State Physics vol ۴۴ (New York: Academic) p ۱
منبع : http://www.nano.ir/paper.php?PaperCode=۱۹۶

منبع : شبکه فیزیکی هوپا