مدل‌های زنجیر مارکو (Markov Chain Models)

به‌طور کلي، برنامه‌ريزى آموزش و پرورش را از ديدگاه مبانى رياضى آنها مى‌توان به چهار دسته تقسيم کرد:

مدل‌هاى بسته (Deterministic Models)

مدل‌هاى بسته مبناى آمارى پيچيده‌اى ندارند و از اين نقطه‌نظر بسته ناميده مى‌شوند که دامنهٔ انعطاف متغيرهاى مربوط محدود است؛ زيرا، معمولاً، متغيرها با ضرايب ثابت و از پيش معلوم شده با يکديگر مربوط هستند. به‌عبارت ديگر، اين مدل‌ها فاقد عوامل و عناصر احتمالاتى هستند و مفروضات ثابت و مشخص و معلوم شدە‌اى را بين عوامل مختلف به يقين تلقى مى‌کنند.

مثلاً بر اساس تشريحى که جانستون به‌عمل آورده است، اگر بخواهيم با کمک مدل‌ەاى نوع بسته تعداد شاگردان گروه سنى به‌خصوصى را در سال معين پيش‌بينى کنيم، ممکن است يکى از دو مدل ساده زير را مورد استفاده قرار دهيم:

(مدل ۴):

aEt = aR . aPt

(مدل ۵):

(Etg) = Pg-۱→ g (Et-۱g-۱ )+ Pg→ g x (Egt-۱)+(Itg)

متغيرهاى اين دو مدل عبارتند از:

سال مورد پيش‌بينى

t =

تعداد شاگردان گروه سنى a

a =

تعداد شاگردان در کلاس g

Eg =

ميزان يا نسبت مدرسه‌روها در گروه سنى a

aR =

تعداد جمعيت گروه سنى a

aP =

ميزان ارتقاء، يعنى نسبت شاگردانى که از کلاس ۱ - g به کلاس g ارتقاء پيدا مى‌کنند.

P g-۱→ g =

ميزان خالص انتقال، يعنى تعداد شاگردانى که از واحدهاى ديگر به کلاس g منتقل مى‌شوند.

Ig =

مفهوم مدل ۴ اين است که تعداد شاگردان گروه سنى a در سال t مساوى است با ميزان مدرسه‌روها در گروه سنى a ضرب در تعداد جمعيت گروه سنى a در سال مورد نظر.

مفهوم مدل ۵ اين است که تعداد شاگردان کلاس g در سال t مساوى است با تعداد شاگردانى که از کلاس پائين‌تر ارتقاء مى‌يابند؛ به‌ علاوه مردودين سال قبل، به اضافهٔ انتقالى‌ها. بديهى است نتيجهٔ دو فرمول فوق در صورتى يکسان خواهد بود که افراد گروه سن a لزوماً در کلاس g نام‌نويسى کنند.

خصوصيت بارز مدل‌هاى بسته را با توجه به چگونگى نقش ضريب‌هاى P و R در دو فرمول فوق مى‌توان دريافت. شخصى که فرمول‌هاى فوق را به‌کار مى‌برد بايد اعدادى براى نسبت مدرسه‌روها، نسبت ارتقاء پيدا کنندگان يا قبولى‌ها، و نسبت انتقال يابندگان معلوم کند و در فرمول بگذارد. بدين ترتيب، پارامترها يا ضرايب مزبور بر اساس قضاوت و تشخيص برنامه‌ريز از پيش تعيين مى‌شوند و به‌هر صورت در تعيين آنها رياضيات احتمالات نقشى ندارد.

يکى از راه‌هاى جالب و مفيد استفاده از مدل‌هاى بسته اين است که آنها را به شيوهٔ شبيه‌وارى يا مانند‌سازى (simulation) به‌کار بنديم. منظور از شيوه مانندسازي، به عبارت ساده اين است که ببينيم پديدهٔ مورد نظر در صورت تغيير عوامل مختلف مربوط، چه شکلى پيدا مى‌کند؛ يعني، به جاى اينکه پارامترها يا ضريب‌ها را ثابت نگاه داريم، ارزش آنها را بر اساس پيش‌فرض‌هاى مختلف تغيير دهيم و ببينيم چه نتيجه‌اى به‌دست مى‌آيد؛ مثلاً، در دو فرمول فوق، تعداد شاگردان هر کلاس تابع جمعيت سنى مربوط و نسبت مدرسه‌روها در گروه سنى مورد نظر مى‌باشد. چون عوامل مزبور تحت تأثير شرايط مختلف نامعينى قرار دارند، مى‌توانيم به جاى آنکه براى هر پارامتر يا ضريب، يک عدد انتخاب کنيم، بر اساس مفروضات موجود اعداد مختلفى در نظر بگيريم و نتيجهٔ هر يک را جداگانه بسنجيم و عواقب تصميمات مختلف را به‌صورت شبيه و نمونه مشاهده کنيم. چون استفاده از کامپيوتر، اين قبيل محاسبات را بسيار آسان و سريع مى‌سازد، تلفيق مدل‌هاى بسته با روش شبيه‌وارى يا مانندسازى رونق فراوان يافته است.

مدل‌هاى زنجير مارکو (Markov Chain Models)

مدل‌هاى زنجير مارکو بر مبناى فرضيه آمارى زنجير مارکو ساخته‌ شده‌اند ولى از بسيارى جهات، نتيجه‌اى شبيه به مدل‌هاى بسته توليد مى‌کنند.

مدل‌هاى رياضى (constraints)

مدل‌هاى رياضى اين مزيت بارز را بر مدل‌هاى رگرسيون دارند که محدوديت‌هاى متغيرها را در نظر مى‌گيرند؛ مثلاً، يک مدل برنامه‌ريزى خطى (Linear Mathematical Programming Model) ممکن است به شکل مجموعه معادله‌هاى ۱۰ تا ۱۲ باشد.

(معادلهٔ ۱۰):

y = a۱x۱ + a۲x۲ + a۳x۳ + ... anxn

(معادلهٔ ۱۱):	c۱> b۱۱x۱ + b۱۲x۲ + b۱۳x۳ + ........+ b۱nxn
c۲> b۲۱x۱ + b۲۲x۲ + b۲۳x۳ + ........+ b۲nxn
.........................................................
.........................................................
.........................................................
cm> bm۱x۱ + bm۲x۲ + bm۳x۳ + ........+ bmnxn

(معادلهٔ ۱۲):

xi> oi =۱،۲....r (r<n)

در معادلهٔ ۱۰، رابطهٔ بين متغير وابسته (Y) و متغيرهاى مستقل (X_n......X_۲,X_۱) نشان داده شده است. مجموعه معادلهٔ ۱۱، معرف شرايط و محدوديت‌هايى است که روى ترکيب‌هاى مختلف و ممکن متغيرهاى مستقل وجود دارد.

معادلهٔ ۱۲، معرف دامنهٔ تغييرات يا مقاديرى است که هر يک از متغيرهاى مستقل مى‌توانند داشته باشند. با حل کردن توأم مجموعه فرمول‌هاى ۱۰ تا ۱۲، هم مى‌توان حداکثر و حداقل اندازهٔ متغير وابسته (Y) را اندازه گرفت، هم شرايط و اندازه‌هاى متغيرهاى مستقل را براى به‌دست آوردن حد مطلوب (optimum) متغير وابسته معلوم کرد.