گشتاور (Moment)(3)

گشتاور اينرسى (Moment of Inertia)

مقاومت يک جسم را در برابر هرگونه تغيير اعم از حرکت و يا سکون اينرسى آن جسم مى‌دانيم. در حالت حرکت خطى اينرسى يک جسم برابر با تودهٔ آن جسم مى‌باشد بنابراين هرقدر تودهٔ جسم بيشتر باشد اينرسى آن بيشتر خواهد بود و نهايتاً تغييرات حرکت خطى آن مشکل‌تر انجام مى‌شود. در حالت حرکت زاويه نيز يک چنين وضعيتى وجود دارد با اين تفاوت که در اين حالت تنها توده جسم نيست که تعيين‌کننده مقاومت آن در مقابل تغييرات حرکتى مى‌باشد بلکه نحوهٔ توزيع اين توده و يا وزن نسبت به محور حرکت که جسم حول آن مى‌چرخد نيز در اينجا بسيار مهم و اثرگذار است. هرگاه تودهٔ نزديک محور چرخش متمرکز باشد مقاومت آن کمتر و تغيير دادن حرکت زاويهٔ آن به مراتب سهل‌تر از موقعى است که تودهٔ جسم دورتر از محور چرخش قرار گرفته باشد.

وقتى کودکى راکت تنيس را برمى‌دارد و به جاى آنکه ان را از دسته بگيرد گردنش را مى‌گيرد کودک به‌طور طبيعى و ناخودآگاه از همين واقعيت و امر مسلم استفاده مى‌کند، زيرا او با اين عمل محور چرخش راکت را به تودهٔ آن (صورت راکت) نزديکتر مى‌کند تا سرانجام حرکت برايش آسان‌تر شود. اطفال نيز براى اينکه راحت‌تر بتوانند غذا بخورند قاشق و فنجان بزرگ را به جاى اينکه از دمش بگيرند گردن آنها را مهار کرده، در اختيار مى‌گيرند.

حرکت زاويه‌اى معادل وزن به‌عنوان يک معيار مقاومت بدن در مقابل تغيير حرکت مى‌باشد که آن را گشتاور اينرسى مى‌ناميم. همان‌طورى که قبلاً به آن اشاره شد در اين مطلب هم‌ تودهٔ جسم و هم نحوهٔ توزيع و پراکندگى آن نسبت به محور حرکت هر دو مورد توجه و مهم هستند. فرض کنيد محور حرکت زاويه‌اى چوب بيسبال به‌طورى که در شکل زير نشان داده شده است خط XY باشد. همچنين فرض کنيد که ذره‌اى از ماده در نقطهٔ A و داراى توده‌اى برابر با m1 باشد که فاصلهٔ آن تا محور XY برابر با r1 مى‌باشد. بنابراين طبق تعريف رسمى که از گشتاور داريم، اين مقدار براى ذره‌ٔ A حول محور XY برابر خواهد بود با:

I₁=m₁r₁²

به همين طريق اندازهٔ گشتاور براى ذرهٔ B حول محور XY برابر خواهد بود با:

I₂=m₂r₂²

و سرانجام اندازهٔ گشتاور بريا ذرهٔ C حول محور XY برابر است با:

I₃=m₃r₃ ²

هرگاه نيروهاى گشتاور تمام ذرات تشکيل‌دهندهٔ چوب بيسبال را باهم جمع کنيم نتيجه آن اندازه گشتاور چوب بيسبال حول محور XY خواهد شد:

I=I₁+I₂+I₃₁+...

I=m₁r₁²+m₂r₂ ²+m₃r₃ ²+...

I=Σmr²

اندازه گشتاور اينرسى يک جسم را مى‌توان از طرق مختلف تعيين کرد. هرگاه جسم داراى شکل هندسى منظم مانند دايره، مربع مستطيل و يا کره باشد و يا اينکه خود از اجزايى ساخته شده باشد که آن اجزاء داراى شکل منظم هندسى باشد اندازهٔ گشتاور اينرسى آن را مى‌توان با استفاده از معادلهٔ I=Σmr2 از طريق رياضى محاسبه نمود. اما هرگاه مانند بسيارى از اجسام که در ورزش به‌کار گرفته مى‌شوند داراى شکل نامنظمى باشد شايد بهترين روش براى محاسبهٔ گشتاور اينرسى آن جسم روش تجربى به شرح زير باشد:

روش‌هاى تجربى براى به‌دست آوردن ارزش عدد اندازهٔ نيروى گشتاور اينرسى اعضاء مختلف بدن انسان مورد استفاده قرار گرفته است و مى‌توان از اين ارقام براى تعيين اندازهٔ گشتاور اينرسى تمامى بدن استفاده نمود. روند اين کار مشابه با پيدا کردن مرکز ثقل اعضاء و اندام‌هاى مختلف بدن مى‌باشد. براى اين کار از روابط درگير و شناخته شده در قضيهٔ محورهاى موازى استفاده مى‌کنيم. (اين قضيه ما را قادر مى‌سازد تا اندازهٔ گشتاور اينرسى يک جسم را حول هر محورى محاسبه کنيم به شرط اينکه اندازهٔ گشتاور اينرسى آن جسم حول محور موازى که از مرکز گرانش آن مى‌گذرد شناخته شده باشد).

قضيهٔ محورهاى موازى را به شکل جبرى و به‌طور ساده مى‌توان چنين بيان کرد:

I_A=I_CG+md²

که در آن IA مساوى است با اندازهٔ گشتاور اينرسى جسم حول محور A، و ICG مساوى است با اندازهٔ گشتاور اينرسى حول محور موازى که از مرکز ثقل جسم مى‌گذرد، m برابر است با تودهٔ جسم و d برابر با فاصلهٔ بين دو محور موازى مى‌باشد.

شايد يک مثال بتواند مفهوم قضيهٔ محورهاى موازى را روشن‌تر سازد. فرض کنيد مربى بخواهد اندازهٔ گشتاور اينرسى ران دونده سرعت خود را هنگامى که در مرحلهٔ بازگشت به حالت اوليه خود مى‌باشد حول محورى که از داخل مفصل ران و لگن خاصرهٔ او مى‌گذرد محاسبه نمايد (شکل زير).

با استفاده از قضيهٔ خطوط موازى مى‌توان گشتاور اينرسى پاى دوندهٔ سرعت را به راحتى تعيين و محاسبه کرد.

اندازهٔ گشتاور ران دونده حول محور عرضى که از مرکز ثقل بدن او مى‌گذرد و موازى با محورى که از داخل مفصل ران و لگن خاصرهٔ او مى‌گذرد. فاصله بين مرکز ثقل ران و محور ران با لگن خاصره را فرض مى‌کنيم برابر يک فوت باشد. بنابراين طبق قضيهٔ محورهاى موازى اندازهٔ گشتاور اينرسى ران دونده حول محورى که از داخل مفصل ران با لگن خاصرهٔ او مى‌گذرد برابر است با:

I'_hip=I_CG+md²

= ۰.۰۷۷۶+(۰.۵۱۵)(۱)^۲

= ۰.۵۹۲۶ اسلاک - فوت به قوهٔ ^۲

محاسبات مشابهى انجام شده و اندازهٔ گشتاور اينرسى ساق پا را حول محور لگن خاصره به شرح زير به‌دست آورده‌اند:

I"_hip=I_CG+md²

=۰.۰۳۷۲+(۰.۰۴۳)(۱.۵)^۲

=۰.۱۳۴۰ اسلاک - فوت به قوهٔ ^۲

و به همين روش اندازهٔ گشتاور براى پا حول محور لگن خاصره برابر است با:

I"_hip=I_CG+md²

=۰.۰۰۲۸ + (۰.۰۷۵)(۱.۷۵)

=۰.۱۳۲۵ اسلاک - فوت به قوهٔ ^۲ ۱۳۲۵/۰

حال براى اينکه اندازهٔ گشتاور اينرسى تمامى اندام پائين‌تنه را حول محور لگن خاصره به‌دست آوريم کافى است به‌طور ساده ارز‌ش‌هاى عددى به‌دست آمده در سه مورد فوق را باهم جمع کنيم:

I_hip=I'_hip+I"_hip+I" '_hip

=۰.۵۹۲۵+ (۰.۱۳۴۰ + ۰.۲۳۲۵)

=۰.۹۵۹۱ اسلاک - فوت به قوهٔ ^۲

اين روش را مى‌توان در مورد تمام اندام‌هاى مختلف بدن تعميم داد و از اين طريق اندازهٔ گشتاور اينرسى تمامى بدن را حول محور حرکتى موردنظر به‌دست آورد. (شکل زير اندازهٔ گشتاور اينرسى بدن انسان را در برخى از مهارت‌هاى متداول در شيرجه و ژيمناستيک نشان مى‌دهد).