معرفی یک دنباله در اعداد طبیعی و بررسی ویژگی های آن

در عصر کنونی بی شک هیچ دو علمی به اندازه علوم کامپیوتر و ریاضیات به یکدیگر وابسته نیستند بسیاری از پیشرفت های علم کامپیوتر مدیون سرعت سریع پیشرفت علم ریاضی و به ویژه ریاضیات جدید است

این مقاله در مورد یک دنباله از اعداد طبیعی است که به صورت نواره ای که در مقاله بدان اشاره می گردد تبدیل می شود و دارای ویژگی های جالب و منحصر به فردی است.این دنباله علاوه بر ویژگی هایی که بدان اشاره می گردد دارای کاربرد های فراوانی در کدینگ و مارکینگ اعداد دارد و به دنبال یکی از این کاربرد ها , روش ارایه شده در این دنباله منحصر به فرد می نماید. از این روش می توان در مدار های دیجیتال (گیت های منطقی )استفاده کرد.

در عصر کنونی بی شک هیچ دو علمی به اندازه علوم کامپیوتر و ریاضیات به یکدیگر وابسته نیستند. بسیاری از پیشرفت های علم کامپیوتر مدیون سرعت سریع پیشرفت علم ریاضی و به ویژه ریاضیات جدید است. تلاش دانشمندان عرصه ریاضیات در اعتلای ریاضیات جدید قطعا راهگشای بسیاری از مسایل کامپیوتری است. نشانه بارز این امر نیز از فعالیت کسانی چون جان فون نویمان و یا جورج بول نشات می گیرد که هر یک سهم عمده ای در پیشبرد همزمان علوم کامپیوتر و ریاضیات جدید داشتند.

در این مقاله سعی شده است با ارایه راهکاری نوین که توسط نویسنده مورد بررسی قرار گرفته است ارتباط این دو علم ملموس تر گردد و دریچه ای تازه به روی علاقمندان به این دو رشته باز شود.

دنباله اعداد طبیعی در حالت کلی دنباله ای آشنا است.ولی بسته به این که چه نوع آرایشی از اعداد طبیعی را در نظر داشته باشیم می توان دنباله های متنوعی از اعداد طبیعی ایجاد کرد که همگی به نوعی معرف یک ویژگی از اعداد طبیعی هستند .

در این مقاله دنباله ای بررسی می گردد که ویژگی های خاصی دارد و می تواند نواره ای ازاعداد طبیعی رابدهد که بدان وسیله ما می توانیم کل دنباله و در نتیجه آرایش اعداد طبیعی راتعیین کنیم.

به دنباله زیر توجه کنید:

n-۱,n,۲n-۱,۲n,۴n-۱,۴n,۸n-۱,۸n,…… nЄIN (۱

این دنباله دو جمله مولد دارد که دو جمله اول آن هستند.از جمله سوم به بعد در این دنباله یک نظم خاص پدید می آید که در ذیل به ویژگی های آن می پردازیم.

در این دنباله جملات به دو دسته افراز می گردند.جملات مرتبه فرد یعنی جملات سوم و پنجم وهفتم و… و جملات زوج یعنی جملات چهارم و ششم و هشتم و… (فراموش نشود که جملات مولد (اول و دوم) را در نظر نگرفته ایم).

جملات مرتبه فرد از قاعده زیر پیروی می کنند:

AO=۲Kn-۱ (۲

و جملات مرتبه زوج از قاعده زیر:

AE=۲Kn (۳)

که در هر دو قاعده K عضوی از IN است ولی تحت شرایطی که بدان اشاره می کنیم.

اگر دو جمله اول را کنار بگذاریم جملات سوم با چهارم , پنجم با ششم و در کل n ام را با n+۱ ام "همسایه"می گوییم.Kبرای هر همسایگی منحصر به فرد و ترتیبی است.

برای همسایگی اول (جملات سوم و چهارم) K=۱و برای همسایگی دوم (جملات پنجم وششم) K=۲و به همین ترتیب خواهد بود.

برای مثال جمله دهم در همسایگی چهارم قرار دارد و این جمله زوج است لذا داریم :

A۱۰=۲۴n=۱۶n

حال شرایطی را در نظر بگیرید که ما بخواهیم از این روش یک دسته اعداد طبیعی را به صورت ستون وار (ماتریسی )در آوریم.بسته به اینکه به چند ستون ماتریسی نیاز داریم به n عدد می دهیم.n همان تعداد ستون های ما در جدول است.تعداد سطرها نامحدود است اما اگر مقدار زیاد انتخاب شود نتیجه کار بهتر نمایان می شود.

اگر به اعداد مندرج در ستون های چهارم جدول نگاه کنیم متوجه می شویم این اعداد همان اعداد دنباله مورد بحث ما به ازای n=۵ است و جمله اول دنباله جمله اول ستون آخر است.

به ازای هر n ای این ماتریس را می توان به این شکل ساخت و نواره ای از اعداد طبیعی ساخت.سایر اعضای طبیعی نیز از روی جدول ساخته می شوند.

این نوع عدد ریزی یک ویژگی جالب دارد که در زیر بدان اشاره می کنیم.

"جمع درایه های متناظر در سطرهای ستون n ام با n+۱ ام در سطرهای ۲m ستون n ام نمایان می شود".مثلا در مثال بالا ۹ که حاصل جمع ۵و۴ است در سطر ۲ ستون ۴ و۱۹ که حاصل جمع ۱۰و۹ است در سطر ۲۲ ستون ۴ است و به همین ترتیب.

این ویژگی موقعیت یابی اعداد را دراین نواره آسان می سازد.

ویژگی جالب تر این دنباله زمانه آشکار می شود که اعداد این دنباله را به صورت دودویی (در مبنای ۲)بنویسیم.این حالت که در زیر بدان اشاره می کنیم در تمام جدول های mn جواب می دهد.

با یک مثال این حالت را بررسی کرده و در نهایت آن راتعمیم می دهیم.

اگر دنباله مذکور دربحث را به ازای ماتریس شماره ۱ (ماتریس فوق الذکر) داشته با شیم اعداد قرار گرفته در سطرهای ۲m را مورد مطالعه قرار می دهیم و مبنای ۲ آنها را به صورت زیر بدست می آوریم:

(۴) ۲(۱۰۰۱)=۹

(۵) ۲ (۱۰۰۱۱)=۱۹

(۶) ۲(۱۰۰۱۱۱)=۳۹

ملاحظه می شود اعدادی که در سطر های مورد نظر قرار دارند هنگامی که به مبنای ۲ برده می شوند به ترتیب از بالا به پایین دارای نظم خاصی در مبنا می شوند.در این حالت برای هر جدول یک کد مبنا ی مخصوص به نام کد "دودویی مخصوص" در نظر می گیریم که به وسیله آن کد می توانیم جدول مد نظر و درنتیجه کل دنباله را برای آن جدول تشکیل دهیم.

دراین ماتریس (ماتریس شماره ۱) کد دودویی مخصوص به شکل زیر تعریف می شود:

(۱۰۰۱x)۲ (۷)

که xدر ازای هر واحد (عدد موجود در سطر ۲m) که به جلو می رود یک ۱ اضافه می کند و بدین ترتیب نواره مد نظر را می سازد.

توجه داریم که در ازای جمله اول (عنصر موجود در سطر اول ) x , را صفر می گیریم و از این جمله به بعد در ازای هر پیشروی, یک ۱ به مقدارقبلی اضافه می کنیم.این اضافه کردن هرگز به معنای جمع نیست بلکه افزودن ۱ به عنوان یک رقم مرتبه دار جدید است.(به مثال بالا بیشتر دقت کنید)

عکس این عمل نیز صادق است یعنی از روی کد دودویی مخصوص می توان دنباله و در نتیجه آرایش اعداد را تعیین کرد.درست عکس عمل انجام شده چاره کار است.

این تبدیل به خاطر اینکه نوع قرار گیری و جمع کردن اعداد دنباله در حالت ماتریسی شبیه ۹۱۵; است به "گاما مارکینگ"نام گرفته است.

اگر اعداد این دنباله را به مبنای ۸ برده و در اصطلاح "هشت تایی سازی مبناها"انجام دهیم به خاصیت جالب دیگر این دنباله پی می بریم .البته این روش زمانی بیشتر نمود دارد که تعداد ستون های جدول بیشتر از ۵ باشد.

اگر هشت تایی سازی مبناها را برای ماتریس شماره ۱ مندرج در متن مقاله انجام دهیم داریم:

(۸) ۸(۱۱)=۹

(۹) ۸(۲۳)=۱۹

(۱۰) ۸(۴۷)=۳۹

اعدادی که از هشت تایی سازی مبناها در ماتریس n ستونی بدست می آیند اعداد مبنای ۱۰ در گاما مارکینگ n+۱ ستون می باشند که یک ویژگی جالب برای این دنباله ها و ماتریس ها می سازد.

● نتیجه گیری:

عصر امروز عصر کامپیوتر است و کامپیوتر بدون ریاضیات یعنی هیچ.شیوه هایی این چنینی که مطرح می شود در اصل ریاضیات امروزی است به گونه ای که تنها ریاضیات محض نباشد بلکه کاربردهایی نوین در جایگاه اصلی خود در عصر امروزیعنی علوم کامپیوتر داشته باشد.آنچه که امروزه در علوم برق و کامپیوتر به عنوان مدارهای منطقی از آن یاد می شود بدون شک مدیون پیشرفت های نوین ریاضیات جدید است.