ریاضیات فازی

● تعریف سیستم‌های فازی و انواع آن
واژة فازی در فرهنگ لغت آکسفورد به صورت مبهم، گنگ و نادقیق تعریف شده است. اگر بخواهیم نظریة مجموعه‌های فازی شرایط عدم اطمینان؛ این نظریه قادر است بسیاری از مفاهیم و متغیر‌ها و سیستم‌هایی را که نادقیق هستند، صورت‌بندی ریاضی ببخشد و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیم‌گیری در شرایط عدم اطمینان فراهم آورد.
منطق فازی: نوعی از منطق بی نهایت مقداره و در حقیقت یک ابتکار برای بیان رفتار مطلوب سیستم ها با استفاده از زبان روزمره. در واقع منطق فازی یک منطق پیوسته است که از استدلال تقریبی بشر الگو برداری کرده است.
این منطق حدود چهل سال پیش در آمریکا، توسط لطفی زاده پایه ریزی شد و برای اولین بار در سال ۱۹۷۴ در اروپا برای تنظیم دستگاه تولید بخار، در یک نیروگاه، کاربرد عملی پیدا کرد. با پیشرفت چشمگیر ژاپن در عرصه وسایل الکترونیکی، در سال ۱۹۹۰ کلمه "فازی" در آن کشور به عنوان "کلمه سال" شناخته شد. بر خلاف آموزش سنتی در ریاضی، او منطق انسانی و زبان طبیعت را وارد ریاضی کرد.
شاید بتوان با دو رنگ سیاه و سفید مثال بهتری ارائه داد. اگر در ریاضی، دو رنگ سیاه و سفید را صفر و یک تصور کنیم، منطق ریاضی، طیفی به جز این دو رنگ سفید و سیاه نمی بیند و نمی شناسد. ولی در مجموعه های نامعین منطق فازی، بین دو رنگ سیاه و سفید مجموعه ای از طیف های خاکستری هم لحاظ می شود و به این طریق فصل مشترک ساده ای بین انسان و کامپیوتر بوجود می آید.
این باور به سیاه و سفیدها، (صفر و یک ها) و این نظام دو ارزشی به گذشته دور باز می گردد و حداقل به یونان قدیم و زمان ارسطو می رسد. البته قبل از ارسطو نوعی ذهنیت فلسفی وجود داشت که به ایمان دودویی با شک و تردید می نگریست.
بودا در هند، پنج قرن قبل از مسیح و تقریباً دو قرن قبل از ارسطو زندگی می کرد. اولین قدم در سیستم اعتقادی او، گریز از جهان سیاه و سفید و برداشتن این حجاب دو ارزشی بود. نگریستن به جهان به همان صورتی که هست.
از دید بودا جهان را باید سراسر تناقض دید، جهانی که چیزها و ناچیزها در آن وجود دارد. در آن گل های رز هم «سرخ» هستند و هم «غیرسرخ».
در منطق بودا هم A داریم هم نقیض A. در منطق ارسطو یا A داریم یا نقیض A (منطقA یا نقیض A) در مقابل (منطق A و نقیض A) منطق این یا آن ارسطو در مقابل منطق تضاد بودا.
منطق ارسطو اساس ریاضیات کلاسیک را تشکیل می دهد. براساس اصول و مبانی این منطق، همه چیز تنها مشمول یک قاعده ثابت می شود که به موجب آن: «آن چیز درست است یا نادرست». دانشمندان نیز بر همین اساس به تحلیل دنیای خود می پرداختند. گرچه آنها همیشه مطمئن نبودند که چه چیزی درست است و چه چیزی نادرست و گرچه درباره درستی یا نادرستی یک پدیده مشخص، ممکن بود دچار تردید شوند. البته آنها در یک مورد هیچ تردیدی نداشتند و آن اینکه هر پدیده ای یا"درست" است یا "نادرست" .
منطق فازی، یک جهان بینی جدید است که به رغم ریشه داشتن در فرهنگ مشرق زمین با نیازهای دنیای پیچیده امروز بسیار سازگارتر از منطق ارسطویی است. منطق فازی جهان را آن طور که هست به تصویر می کشد. بدیهی است چون ذهن ما با منطق ارسطویی پرورش یافته، برای درک مفاهیم فازی در ابتدا باید کمی تامل کنیم، ولی وقتی آن را شناختیم، دیگر نمی توانیم به سادگی آن را فراموش کنیم. دنیایی که ما در آن زندگی می کنیم، دنیای مبهمات و عدم قطعیت است. مغز انسان عادت کرده است که در چنین محیطی فکر کند و تصمیم بگیرد و این قابلیت مغز که می تواند با استفاده از داده های نادقیق و کیفی به یادگیری و نتیجه گیری بپردازد، در مقابل منطق ارسطویی که لازمه آن داده های دقیق و کمی است، قابل تامل است.
● تاریخچه منطق فازی
زمانی که در سال ۱۹۶۵ پروفسور لطفی‌زاده، استاد ایرانی‌الاصل دانشگاه برکلی، اولین مقاله خود را در زمینه فازی تحت عنوان مجموعه‌های فازی (FUZZY TEST) منتشر کرد، هیچ کس باور نداشت که این جرقه‌ای خواهد بود که دنیای ریاضیات را به طور کلی تغییر دهد.
گرچه در دهه ۱۹۷۰ و اوایل دهه ۱۹۸۰ مخالفان جدی برای نظریه فازی وجود داشت، اما امروزه هیچ کس نمی‌تواند ارزش‌های منطق فازی و کنترل‌های فازی را منکر شود. زمینه‌های پژوهش و تحقیق در نظریه فازی بسیار گسترده می‌باشد؛ پژوهشگران علاقه‌مند می‌توانند با پژوهش و تحقیق در این زمینه باعث رشد و شکوفایی هرچه بیشتر نظریه فازی شوند. در این مقاله سعی شده است که خوانندگان محترم با نظریه فازی و تاریخچه آن آشنا شوند و زمینه‌های تحقیق و پژوهش مورد بررسی قرار گیرد.
به هر حال افتخار هر ایرانی است که پایه علوم قرن آینده از نظریات یک ایرانی می‌باشد؛ باید قدر این فرصت را دانست و در تعمیم نظریه فازی و استفاده از آن کوشش و تلاش کرد.به مدد تعقل و اندیشه است که توانسته طبیعت چموش را رام خود کند، و فرهنگ و تمدن را رنگ و جلا ببخشد. مگر نه اینکه فرهنگ از انگیختگی و پویایی ارتباط دوره به دوره ی انسان و طبیعت، انسان و انسان، انسان و ابزار، انسان و جامعه و زبان معنا یافته است؟ به مدد همین اندیشه است که آدمی مخلوق توانسته اثر انگشت خودش را بر طبیعت و زمانه ی خود حک کند، و حتی تا مقام خالق، خودش را بالا کشد. هیچ فکر کرده اید که علم و صنعت با سرعت نور، چنان در خدمت بشر قرار گرفته که به جای او محاسبه و اندیشه می کند؟ هیچ فکر کرده اید که همه لوازم پیرامون مان که آسایش را برایمان معنا می کنند و تکنیک اتومات را در خود دارد خالق ومبتکری به نام پروفسور "لطفی علی عسگرزاده" دارد؟
● تاریخچهٔ مجموعه‌های فاز
نظریهٔ مجموعه فازی در سال ۱۹۶۵ توسط پروفسور لطفی عسگرزاده، دانشمند ایرانی‌تبار و استاد دانشگاه برکلی امریکا عرضه شد. اگر بخواهیم نظریه مجموعه‌های فازی را توضیح دهیم، باید بگوییم نظریه‌ای است برای اقدام در شرایط عدم اطمینان؛ این نظریه قادر است بسیاری از مفاهیم و متغیرها و سیستم‌هایی را که نادقیق و مبهم هستند، صورت‌بندی ریاضی ببخشد و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیم‌گیری در شرایط عدم اطمینان فراهم آورد.
پرواضح است که بسیاری از تصمیمات و اقدامات ما در شرایط عدم اطمینان است و حالت‌های واضح غیر مبهم، بسیار نادر و کمیاب‌ می‌باشند. نظریهٔ مجموعه‌های فازی به شاخه‌های مختلفی تقسیم شده است که بحث کامل و جامع در مورد هر شاخه، به زمان بیشتر و مباحث طولانی‌تری احتیاج دارد. در این مبحث که با انواع شاخه‌های فازی و کاربرد آنها آشنا می‌شویم، تلاش شده است که مباحث به صورت ساده ارائه شود و مسائل بدون پیچیدگی‌های خاص مورد بررسی قرار گیرد. همچنین تلاش شده است که جنبه‌های نظری هر بحث تا حد امکان روشن شود؛ گرچه در بسیاری موارد به منظور اختصار، از بیان برهان‌ها چشمپوشی شده است و علاقه‌مندان را به منابع ارجاع داده‌ایم. مطالعه این پژوهش می‌تواند زمینه‌ای کلی و فراگیر دربارهٔ اهم شاخه‌های نظریه مجموعه‌های فازی فراهم ‌آورد؛ اما علاقه‌مندان می‌توانند با توجه به نوع و میزان علاقه و هدف خود، به مراجع اعلام شده، مراجعه نمایند.
● تاریخچهٔ مختصری از نظریه و کاربردهای فازی
▪ دههٔ ۱۹۶۰ آغاز نظریه فازی
نظریه فازی به وسیله پروفسور لطفی‌زاده در سال ۱۹۶۵ در مقاله‌ای به نام مجموعه‌های فازی معرفی شد.
ایشان قبل از کار بر روی نظریه فازی، یک استاد برجسته در نظریه کنترل بود. او مفهوم «حالت» را که اساس نظریه کنترل مدرن را شکل می‌دهد، توسعه داد.
عسگرزاده در سال ۱۹۶۲ چیزی را بدین مضمون برای سیستم‌های بیولوژیک نوشت: ما اساساً به نوع جدید ریاضیات نیازمندیم؛ ریاضیات مقادیر مبهم یا فازی که توسط توزیع‌های احتمالات قابل توصیف نیستند. وی فعالیت خویش در نظریه فازی را در مقاله‌ای با عنوان «مجموعه‌های فازی» تجسم بخشید. مباحث بسیاری در مورد مجموعه‌های فازی به وجود آمد و ریاضیدانان معتقد بودند نظریه احتمالات برای حل مسائلی که نظریه فازی ادعای حل بهتر آن را دارد، کفایت می‌کند.
دههٔ ۱۹۶۰ دههٔ چالش کشیدن و انکار نظریه فازی بود و هیچ یک از مراکز تحقیقاتی، نظریه فازی را به عنوان یک زمینه تحقیق جدی نگرفتند.
اما در دههٔ ۱۹۷۰، به کاربردهای عملی نظریه فازی توجه شد و دیدگاه‌های شک‌برانگیز درباره ماهیت وجودی نظریه فازی مرتفع شد.
استاد لطفی‌زاده پس از معرفی مجموعهٔ فازی در سال ۱۹۶۵، مفاهیم الگوریتم فازی را در سال ۱۹۶۸، تصمیم‌گیری فازی را در سال ۱۹۷۰ و ترتیب فازی را در سال ۱۹۷۱ ارائه نمود. ایشان در سال ۱۹۷۳ اساس کار کنترل فازی را بنا کرد این مبحث باعث تولد کنترل‌کننده‌های فازی برای سیستم‌های واقعی بود؛ ممدانی (Mamdani) و آسیلیان (Assilian) چهارچوب اولیه‌ای را برای کنترل‌کننده فازی مشخص کردند. در سال ۱۹۷۸ هومبلاد (Holmblad) و اوسترگارد(Ostergaard) اولین کنترل‌کننده فازی را برای کنترل یک فرایند صنعتی به کار بردند که از این تاریخ، با کاربرد نظریه فازی در سیستم‌های واقعی، دیدگاه شک‌برانگیز درباره ماهیت وجودی این نظریه کاملاً متزلزل شد.
دههٔ ۱۹۸۰ از لحاظ نظری، پیشرفت کندی داشت؛ اما کاربرد کنترل فازی باعث دوام نظریه فازی شد.
هیچ اندیشیده اید که کشور ژاپن چرا گوی سبقت را در تولید لوازم الکترونیک هوشمند از دیگر همتایانش ربوده ست؟
مهندسان ژاپنی به سرعت دریافتند که کنترل‌کننده‌های فازی به سهولت قابل طراحی بوده و در مورد بسیاری مسائل می‌توان از آنها استفاده کرد.
به علت اینکه کنترل فازی به یک مدل ریاضی نیاز ندارد، می‌توان آن را در مورد بسیاری از سیستم‌هایی که به وسیلهٔ نظریه کنترل متعارف قابل پیاده‌سازی نیستند، به کار برد. سوگنو مشغول کار بر روی ربات فازی شد، ماشینی که از راه دور کنترل می‌شد و خودش به تنهایی عمل پارک را انجام می‌داد. یاشونوبو (Yasunobu) و میاموتو (Miyamoto) از شرکت هیتاچی کار روی سیستم کنترل قطار زیرزمینی سندایی را آغاز کردند. بالاخره در سال ۱۹۸۷ پروژه به ثمر نشست و یکی از پیشرفته‌ترین سیستم‌های قطار زیرزمینی را در جهان به وجود آورد. در دومین کنفرانس‌ سیستم‌های فازی که در توکیو برگزار شد، درست سه روز بعد از افتتاح قطار زیرزمینی سندایی، هیروتا (Hirota) یک روبات فازی را به نمایش گذارد که پینگ‌پونگ بازی می‌کرد؛ یاماکاوا (Yamakawa) نیز سیستم فازی را نشان داد که یک پاندول معکوس را در حالت تعادل نشان می‌داد. پس از این کنفرانس، توجه مهندسان، دولتمردان و تجار جلب شد و زمینه‌های پیشرفت نظریه فازی فراهم شد.
▪ دههٔ ۱۹۹۰ ، توجه محققان امریکا و اروپا به سیستم‌های فازی
موفقیت سیستم‌های فازی در ژاپن، مورد توجه محققان امریکا و اروپا واقع شد و دیدگاه بسیاری از محققان به سیستم‌های فازی تغییر کرد. در سال ۱۹۹۲ اولین کنفرانس بین‌المللی در مورد سیستم‌های فازی به وسیله بزرگترین سازمان مهندسی یعنی IEEE برگزار شد. در دههٔ ۱۹۹۰ پیشرفت‌های زیادی در زمینهٔ سیستم‌های فازی ایجاد شد؛ اما با وجود شفاف شدن تصویر سیستم‌های فازی، هنوز فعالیت‌های بسیاری باید انجام شود و بسیاری از راه‌حل‌ها و روش‌ها همچنان در ابتدای راه قرار دارد. بنابراین توصیه می‌شود که محققان کشور با تحقیق و تفحص در این زمینه، موجبات پیشرفت‌های عمده در زمینهٔ نظریه فازی را فراهم نمایند.
● سیستم‌های فازی چگونه سیستم‌هایی هستند؟
سیستم‌های فازی، سیستم‌های مبتنی بر دانش یا قواعد می‌باشند؛ قلب یک سیستم فازی یک پایگاه دانش است که از قواعد اگر ـ آنگاه فازی تشکیل شده است.
در اولین نگاه به اطراف خود به سادگی می توانید مجموعه ای از این دستگاه ها و لوازم را در خانه و محل کار خود بیابید. بله، مخترع منطق نوین علمی که جهان صنعت را دگرگون کرد و در کنار منطق دیجیتالی در ساختمان دستگاه های الکترونیکی، "منطق فازی" را به دنیا عرضه نمود، کسی نیست جز پروفسور لطفی زاده. منطق فازی تعمیمی از منطق دو ارزشی متداول است و درحالیکه در منطق دودویی جایی برای واژه هایی همچون "کم"، "زیاد"،"اندکی"،"بسیار" و... که پایه های اندیشه واستدلالهای معمولی انسان را تشکیل می دهند وجود ندارد، روش پروفسور زاده برمبنای بکارگیری همین عبارات زبانی است.بعنوان مثال، مساله رعایت فاصله با خودروی جلویی در هنگام رانندگی را در نظر می گیریم. جهت تنظیم این فاصله هنگام مواجه شدن با خودروی روبرو "اگر جاده لغزنده باشد ، باید فاصله را زیاد می کنیم" و " اگر سرعت خوردرو کم باشد ، می توانیم فاصله را کم می کنیم" و "اگر هوا تاریک باشد ، فاصله را زیاد می کنیم" که غالبا به هنگام رانندگی امکان اندازه گیری دقیق میزان سرعت خودرو ، تاریکی جاده ، لغزندگی جاده و نظیر آن به منظور محاسبه مقادیر فاصله مطلوب وجود ندارد ، درنتیجه جهت طراحی سیستم ترمز موثر خودرو بر پایه منطق فازی، عباراتی مثل تاریکی کم یا زیاد ، سرعت کم یا زیاد ولغزندگی کم یا زیاد و... را بعنوان متغیرهای ورودی و عباراتی همچون " فاصله کم یا زیاد" را مشابه آنچه در مغز انسان برای تصمیم گیری رخ می دهد را بعنوان متغیر خروجی بکار می بندیم. امروزه هیچ دستگاه الکترونیکی، از جمله وسایل خانگی، بدون کاربرد این منطق در ساختار فنی خود ساخته نمی شود. با منطق فازی پروفسور لطفی زاده این دستگاه ها هوشمند می شوند. امروزه اروپایی ها، ژاپنی ها و آمریکایی ها و همه و همه ی کشورهای پیشرو در علم و صنعت، پروفسور لطفی زاده را می شناسند و از اهمیت کار او در دانش مدرن بشری آگاهند. بر خلاف آموزش سنتی در ریاضی، پروفسور "زاده" در سال ۱۹۶۵ منطق انسانی و زبان طبیعت را وارد ریاضی کرد. شاید بتوان با دو رنگ سیاه و سفید مثال بهتری ارائه داد. اگر در ریاضی، دو رنگ سیاه و سفید را صفر و یک تصور کنیم، منطق ریاضی، طیفی به جز این دو رنگ سفید و سیاه نمی بیند و نمی شناسد. ولی در مجموعه های نامعین منطق فازی، بین سیاه و سفید مجموعه ای از طیف های خاکستری هم لحاظ می شود و به این طریق فصل مشترک ساده ای بین انسان و کامپیوتر بوجود می آید. این منطق حدود چهل سال پیش در آمریکا توسط لطفی زاده پایه ریزی شد و برای اولین بار در سال ۱۹۷۴ در اروپا برای تنظیم دستگاه تولید بخار در یک نیروگاه، کاربرد عملی پیدا کرد. با پیشرفت چشمگیر ژاپن در عرضه وسایل الکترونیکی، در سال ۱۹۹۰ کلمه "فازی" در آن کشور بسط و گسترش منطق فازی و تئوری مجموعه های فازی بدلیل ابهام و عدم قطعیتی بوده که در مسائل پیرامون ما وجود دارد و به همین جهت در منطق فازی (علی رغم منطق دو ارزشی) گستره ای از ارزشها تعریف شده است تا ما قادر باشیم احساسات و تفکراتمان را بدون ابهام به مخاطبان خود انتقال دهیم .بدون اغراق زندگی روزمره ما آمیخته با مفهوم فازی است ، یعنی بطور ناخودآگاه از عباراتی استفاده می کنیم که برای مخاطب دقیقا مشخص نیست. . بعبارت ساده تر، مفهوم کلمه یا عبارت به تنهایی ممکن است واضح و روشن باشد ، اما زمانیکه از آن بعنوان معیاری در تعیین اعضای یک مجموعه ریاضی استفاده می شود ، شاید نتوان بطور قاطع شیء را به آن نسبت داد و بالعکس.به عنوان "کلمه سال" شناخته شد.
با این اوصاف :
الف) ما تا چه حد قادریم احساسات و تفکراتمان را بدون ابهام به مخاطبان خود انتقال دهیم و تا چه حد آن چیزی که بیان می کنیم دقیقا همان خواسته ذهنی ما بوده است؟
ب) چقدر درک مخاطب از جمله ما ، با آنچه که مقصود ما بوده همخوانی داشته است؟
این دو سوال ۲ مفهوم متفاوت و درعین حال اساسی در مبحث فازی را بیان می کنند. بطور کلی برای برقراری ارتباط با محیط اطراف ، ما از یک "زبان طبیعی" استفاده می کنیم و از آنجاکه قدرت تفکر همواره فراتر از توان پیاده سازی آن با یک زبان است برای بسیاری از مفاهیم ذهنی معادل دقیقی در دامنه لغات زبان وجود ندارد.
برای سوال دوم هم باید گفت که عوامل مختلفی در برداشت و درک افراد از یک مفهوم مشخص اثرگذار است .فرضا در عبارت "هوای سرد" با توجه به مکان زندگی ، فرهنگ ، حساسیت فرد به سرما و... تعابیر مختلفی برای فرد از عبارت "سردی" قابل تعریف است که لزوما با شخص دیگر در مکان دیگر برابر نیست، زیرا سردی هوا از نظر افراد مختلف داری درجات متفاوتی است.کسی که در قطب زندگی می کند دمای ۱۵- را سرد می داند درحالیکه برای فرد ساکن استوا دمای ۵+ درجه هم ممکن است سرد تلقی شود. این تفاوت درک افراد ازیک موضوع یکسان چگونه قابل توجیه است؟
برای پاسخ به این سوال ابتدا باید مفهوم و جایگاه واژه "سردی" در دنیای پیرامون ما تعریف و مشخص شود .این نکته همان چیزی است که پروفسور زاده در سال ۱۹۷۳ تحت عنوان متغیرهای زبانی به آن اشاره کرد، متغیرهایی که عدد نیستند بلکه مقادیرآنها حروف و لغات هستند و با مدلسازی مجموعه ای برای متغیر زبانی "سردی" (در واقع تئوری مجموعه های فازی) سعی در توصیف آن نموده و به هرکدام از دماهای مختلف (x) ، یک "درجه عضویت"(µ) نسبت می دهیم که بیان کننده میزان تعلق آن عضو به مجموعه است و بین بازه بسته ۰ و ۱ متغیر است:
در نتیجه در تئوری مجموعه فازی A در مجموعه مرجع U بصورت زوج مرتب زیر است: A = { (x,µ(x))|xЄ A}
یعنی دیگر نمیتوان بطوردقیق عنصری از U را به مجموعه A نسبت داد و چون مرزی که در انتساب اعضا به وجود می آید(به دلیل درک مختلف افراد از آن عبارت ) حالت غیر قطعی و غیر دقیق به خود می گیرد. توابع عضویت در تعیین درجات عضویت نقشی اساسی ایفا می کنند .برای مثال برای مجموعه فازی با عنوان "سردی" دمای ۱۰- با درجه ۰.۸ به این مجموعه تخصیص می یابد در حالیکه دمای ۵+ دارای درجه عضویت ۰.۴ در این مجموعه است.با توجه به این درجه عضویتها می توان فهمید دمای ۱۰- سردتر از ۵+ است زیرا میزان تعلق آن به مجموعه فازی "سردی" بیشتر است.
همانند مجموعه های کلاسیک، اگر درجه عضویت عنصری به مجموعه فازی صفر باشد ، آن عنصر به مجموعه تعلق ندارد و درجه عضویت یک نشان می دهد که عنصر دقیقا عضو مجموعه است.بهر حال در تئوری fuzzyابهام در مفهوم توصیف کننده ها و گزاره های بیان کننده شرائط سیستم وجود دارد و توجه کنید که کلیه مباحث ما مربوط به این نوع عدم قطعیت است، بویژه زمانیکه در خصوص تصمیم گیری و یا ارزیابی یک سیستم یا فرآیند تحت کنترل صحبت می کنیم.
به عنوان نمونه عبارت " سال مالی موفق " را در نظر بگیرید. برای بعضی شرکتها ، سال اقتصادی موفق یعنی اینکه نسبت به سال قبل سود بیشتری بدست آورند اما برای برخی دیگر یعنی اینکه از ورشکستگی رهایی یابند! و... در نتیجه عبارت فوق الذکر یک گزاره وابسته به نحوه عملکرد شرکتهای مختلف است وبرخلاف عبارت " سردی هوا" ذاتا لغتی فازی محسوب نمی شود.
بدلیل ماهیت منطق فازی و تئوری مجموعه های فازی ، زمینه های کاربردی گسترده ای در علوم مهندسی و حتی اجتماعی و اقتصادی برای آن بوجود آمده است.یکسری از انجمنهای فعال در زمینه منطق و تکنولوژی فازی عبارتند از :Japan Soceity Fuzzy Theory and Systems(SOFT) ,Laboratory for International Fuzzy Engineering Research(LIFER)
● آشنایی با منطق فازی
منطق فازی عبارتست از "استدلال با مجموعه های فازی". پیش از معرفی تئوری منطق فازی توسط پروفسور لطفی زاده در ۱۹۶۵ محققان زیادی به رفع پارادوکسهای موجود در مسائل مطرح شده در علوم مختلف بر اثر محدودیت منطق دوگانه مشغول بودند ، مانند پارادوکس woogerدر علوم زیست شناسی که در آن فرزندان بعضی از حیوانات به تیره خانواده ای متفاوت از والدینشان تعلق دارند ، در حالیکه از نظر ژنتیکی چنین امری ممکن نیست و این موضوع با منطق دوگانه مرسوم سازگاری نداشت.
در این راستا Bertrand Russel ابهام را جزئی از زبان دانست و یا Jan Lukasiewicz منطق سه ارزشی را مطرح کرد که در آن علاوه بر ارزشهای False & True منطق ارزشی possible هم وجود داشت.در منطق فازی به جای دو ارزشی بودن ، ما طیفی از ارزشها را در بازه بسته صفر و یک خواهیم داشت. با این طیف می توان عدم قطعیت را به خوبی نمایش داد . تمایز عمده منطق فازی با منطق چند ارزشی آن است که در منطق فازی مفهوم یک عبارت هم می تواند مبهم باشد(مانند سردی هوا) . در منطق فازی می توانیم جملاتی را که معمولا در محاورات روزانه در تحلیل مسائل استفاده می کنیم از قبیل "کاملا درست است" ،"کم و بیش درست است"، "تا حدی نادرست است" و... را بکار بندیم . بطور کلی منطقها بعنوان پایه برهان به ۳ بخش متمایز مقادیر درستی (Truth Values), عملگرها(operators) و فرآیند استدلال (reasoning) تقسیم می شوند.
برای نمونه عملگر or برای دو ورودی منطق دودویی (با مقادیر درستی صفر و یک) به شکل زیر است:
OR B A
۱ ۱ ۱
۱ ۰ ۱
۱ ۱ ۰
۰ ۰ ۰
و برای فرآیند استدلالی به شرح زیر ما جدول متناسب را رسم نمودیم:
Modus Ponens : (A ^ (A → B) )→B
B ^ A → B B A
۱ ۱ ۱ ۱ ۱
۱ ۰ ۰ ۰ ۱
۱ ۰ ۱ ۱ ۰
۱ ۰ ۱ ۰ ۰
این استدلالها مربوط به منطق دودویی است ، در حالیکه منطق فازی بسطی از منطق چند ارزشی بر پایه تئوری مجموعه هاست که در آن مقادیر درستی بجای صفر و یک متغیرهای زبانی هستند.
تئوری مجموعه های فازی:
در ابتدای کار به منظور یاد آوری به مجموعه های کلاسیک اشاره خواهیم داشت. یک مجموعه کلاسیک بعنوان یک مجموعه ای از اشیاء با اجزایA Є x تعریف می شود.در واقع تابع مشخصه ای وجود دارد که برای هر x متعلق به مجموعه مرجع U مقدار µ(x) را بررسی می کند، تا مشخص شود که آن x متعلق به A است یا خیر:
۱ , if and onlyif xЄ A
A ۰ , if and onlyif x
بعبارت دیگر گزاره xЄ A یا درست است ویا غلط .چنین مجموعه ای به اشکال مختلف قابل تعریف است:
۱) می تواند لیست عناصری باشد که به مجموعه متعلقند.
۲) ۲-توصیف مجموعه با بیان شرط عضویت A={x|x<۵}
۳) تعریف عناصر بوسیله یک تابع مشخصه که در آن "۱" نشانه عضویت و "۰" نشانه عدم عضویت است.
اما زمانیکه تابع مشخصه می تواند مقادیر پیوسته ای در [۰,۱] را به خود اختصاص دهد آنگاه
µ(x): U → [۰,۱]
دیگر نمیتوان بطور دقیق عضوی از U را به مجموعه A نسبت داد یا بالعکس ، بلکه برای هر x یک "درجه عضویت" تعریف می شود ، مثلا وقتی گفته می شود درجه عضویت x در مجموعه A برابر ۰.۸ است ، حاکیست که امکان تعلق x به این مجموعه بیش از امکان عدم تعلق آنست .این نکته پایه تئوری مجموعه های فازی است و عمل تخصیص درجه عضویت نیز بر عهده توابع عضویت می باشد.
برای مثال فردی با ۳۰ سال سن ، بیش از آنکه به مجموعه "پیر" تعلق داشته باشد به مجموعه "جوان" متعلق است و این وابستگی را با عددی بین ۰ تا ۱ نشان م تعریف- یک مجموعه فازی A در مجموعه مرجع U بصورت زوج مرتب زیر است:ی دهیم. A = { (x,µ(x))|xЄ A}
یک مشاور املاک میزان راحتی و آسایش خانه ها را به توجه به تعداد اتاقهای خواب آن طبقه بندی می کند( این مفهوم فازی است چرا که مشاور املاک دیگر ممکن است نظری متفاوت داشته باشد)! اگر مجموعه Aبه صورتA={۱,۲,&#۱۳۳;,۱۰} مجموعه ای از انواع خانه های موجود با اعضای x نشاندهنده تعداد اتاقهای خواب باشد ، آنگاه مجموعه فازی "خانه راحت" برای یک خانواده ۴ نفری بشکل زیر قابل تعریف است:
{۱,۰.۲),(۲,۰.۵),(۳,۰.۸),(۴,۱),(۵,۰.۷),(۶,۰.۳)}A=
که در آن مناسبترین خانه ، با ۴ اتاق خواب در نظر گرفته شده و بالاترین درجه عضویت هم به آن تخصیص یافته است. بالتبع اگرB مجموعه فازی برای یک خانواده ۵ نفره باشد، حاصل مجموعه ای متفاوت از مجموعه A خواهد بود.
● تابع عضویت:
تابع عضویت هر مقدار عددی را به درجه عضویت عبارات زبانی (بین ۰ تا ۱) می نگارد. در حالت استاندارد ، ۳ مرحله برای بدست آوردن تابع عضویت یک متغیر زبانی ذکر شده است:
▪ مرحله ۱
▪ برای هر عبارت ، آن مکانی که شامل نزدیکترین مقدار عددی به مفهوم زبانی عبارت است را انتخاب می کنیم و غالبا دارای ماکزیمم درجه عضویت µ=۱ هم هست.مانند توابع عضویت مربوط به عبارت زبانی &#۱۴۷;power&#۱۴۸; که در زیر نشان داده شده است.pos-high نمایانگر توان مثبت بزرگ (positive) و neg-medium نشاندهنده توان منفی متوسط است.
۲) مرحله ۲ برای هر عبارت زبانی، مکان (یا مکانهایی) را که مقدار درجه عضویت عبارت در آنجا صفر است معین می کنیم.
۳) مرحله ۳ نقطه ای که دارای µ=۱ بوده را به نقاطی که دارای µ=۰ بودند با خطوط مستقیم وصل می کنیمف که می تواند تابعی به شکل &#۹۲۳; ایجاد نماید یا برای حالتی که دونقطه ماکزیمم داریم بصورت &#۹۲۸; باشد.برای متغیرهای خروجی (مانند توانهای موتور در مثال قبلی) ، همین روند تکرار می شود.
برای توابع عضویت شکلهای مختلفی وجود دارد که مهمترین آنها عبارتند از:
۱) مثلثی و ذوزنقه ای
به ۲ دلیل این نوع شکل, در رسم توابع عضویت بیشترین کاربرد را دارند که علت آن سادگی در محاسبه خروجی یک سیستم فازی می باشد.
۲) مکعبی که حالت متقارن مکعبی را شامل می شود.
۳) حالت منحنی (نمایی) که نمودار تابع عضویت آن به شکل زیر است:
مثلا در بررسی تابع عضویت بشکل &#۹۲۸; برای مرحله فازی سازی ورودیهای عددی تابع عضویت متغیر زبانی " تقریبا برابر عدد ۱۰" در شکل زیر ۴ نقطه در نظر می گیریم:
ملاحظه می شود که با استفاده از این ۴ نقطه کل ناحیه محور به ۵ بخش تقسیم خواهد شد. در نتیجه هر ورودی عددی به سیستم ، در یکی از این نواحی قرار می گیرد و بر همین اساس معادل زبانی و درجه عضویتش مشخص می گردد.فرضا اگر ورودی عدد ۸ باشد، مقدار درجه عضویتش برای این عبارت زبانی ۰.۵ خواهد بود .
● عملیات اساسی روی مجموعه های فازی(t-norm, co-norm)
چون مجموعه های فازی با توابع عضویتشان تعریف می شوند ، در واقع عملگرها روی این توابع عمل می کنند.
تعریف-مکمل مجموعه فازی با تابع عضویت µA(x) بصورت مجموعه ای با تابع عضویت زیر تعریف می شود:
µA(x)=۱- µA(x)
فرضا تابع عضویت مجموعه فازی " تقریبا عدد ۱۰" با اعمال این عملگر یعنی &#۱۴۷;not&#۱۴۸; به شکل زیر تبدیل می شود:
تعریف-co-norm اشتراک ۲ مجموعه فازی C=A&#۹۲۸;B ، مجموعه با تابع عضویت زیر است:
µC(x)=min {µA(x), µB(x)} xЄA
البته راههای دیگری در تعریف اشتراک وجود دارد ، مانند ضرب توابع عضویت µA(x)* µB(x) یا روابط دیگری که توسط افراد مختلف بکارگرفته شده است. تعریف-t-norm اجتماع ۲ مجموعه فازی C=AUB تابع عضویتی به شکل زیر دارد:
µC(x)=max {µA(x), µB(x)} xЄA
● متغیرهای زبانی
یک متغیر بوسیله یک پنج تایی (x,T(x),U,G,M) مشخص می شود که x نام متغیر زبانی مانند دما، فشار و ... ، T(x) مجموعه ای از مقادیر زبانی است که برای x تعریف می شود ، مانند خیلی زیاد، کم و ...، U مجموعه مرجعی است که مقادیر زبانی روی آن تعریف می شوند ، مثلا برای دما ، بازه بین ۵۰- و ۱۰۰+ درجه سلسیوس بعنوان مقادیر مجاز برای مجموعه فازی " دما" تعریف می شود. G هم یک تابع عضویت تعریف شده روی مجموعه مرجع است که مفهوم مقادیر زبانی در عبارت را مشخص می کند وM(x) بعنوان زیر مجموعه ای فازی از U است مانند:
M(old)={(x,µold(x)|x Є[۰,۱۰۰]}
µold(x)= ,x Є [۵۰,۱۰۰]
پروفسور" زاده " در سال ۱۹۷۳ می نویسد:" متغیرهای زبانی ، متغیرهایی هستند که مقادیرشان اعداد نیستند ، بلکه لغات یا جملات یک زبان طبیعی یا ساختگی هستند." اگرچه تئوری مجموعه های فازی فقط با مدلهای ریاضی سر و کار دارد ، ولی امکان مدلسازی لغات و عبارات یک زبان طبیعی را به کمک متغیرهای زبانی می دهد. بطور کلی متغیرها به ۲ دسته تقسیم می شوند :
۱) زبانی:
مانند کلمات و عبارات مر بوط به یک زبان طبیعی را گویند.
۲) عددی:
که متغیرها دارای مقادیر عددی هستند.
یک متغیر زبانی در واقع یک عبارت زبان طبیعی است که به یک مقدار کمیت خاص اشاره دارد و اصطلاحا مانند مترجم عمل می کندو به کمک تابع عضویت نشان داده می شود مانند واژه "سرد" در جمله "هوا سرد است". سردی خود متغیری است برای دمای هوا که می تواند مقادیر مختلفی به خود اختصاص دهد و در واقع یک تابع عضویت برای آن تعریف می شود.
متغیرهای زبانی می توانند از الحاقu=u۱,u۲,u۳,&#۱۳۳;,un تشکیل شوند که هر کدام از ui ها عبارتی تجزیه ناپذیر است ، مانند " تا حدی سرد" ، که در مجموع به ۴ دسته زیر تقسیم می شود:
۱) عبارات اصلی:
که بعنوان برچسبهایی برای مجموعه های فازی در نظر گرفته می شوند و مانند "سرد" در عبارت بالا یا عباراتی از قبیل: کوتاه ، بلند و... که هر کدام تابع عضویت مخصوص خود
۲) حروف ربط :
مانند و ، یا...را دارند.
۳) پیراینده :
که روی عبارات اولیه اعمال شده و اثر تشدید یا تضعیف در مفهوم آن عبارت را بهمراه دارد مانند تا حدی ، اندکی ، بسیار و....
۴) حروف نشانه مانند پرانتز و....
تمامی پیراینده ها روی عبارات اصلی u بصورت u به توان p عمل می کنند که pЄ[۰,∞) است و اگر p=∞ شود آنگاه عبارت دقیق و غیر فازی حاصل می شود و نشان می دهد که هیچ ابهام و تردیدی وجود ندارد.اگر فرضا متغیر زبانی &#۱۴۷;پیر&#۱۴۸; را بعنوان ملاک ایجاد یک مجموعه فازی در نظر بگیریم آنگاه آن مجموعه بصورت زیر خواهد بود:
پیر={(۰.۳و۴۵)،(۰.۵و۵۰)،(۰.۸و۵۵)،(۰.۹و۶۰)،(۱و۷۰)،(۱و۷۵)}
آنگاه عبارت "بسیار پیر" ="پیر به توان ۲ " یعنی تمام درجات عضویت به توان ۲ می رسند که ما حصل
بصورت زیر خواهد بود:
بسیار پیر={(۰.۰۹و۴۵)،(۰.۲۵و۵۰)،(۰.۶۴و۵۵)،(۰.۸۱و۶۰)،(۱و۷۰)،(۱و۷۵)}
و یا برای نمونه عملگری مثل "کم و بیش" که خاصیت تضعیف کنندگی مفهوم را با خود بدنبال دارد بصورت "کم و بیش پیر" = "پیر به توان " .
از مهمترین کاربردهای این منطق در هوش مصنوعی و طراحی رباتهاست.
زندگی نامه استاد لطفی‌زاده
استاد لطفی‌زاده در سال ۱۹۲۱ در باکو متولد شد. آنجا مرکز آذربایجان شوروی بود. لطفی‌زاده یک شهروند ایرانی بود؛ پدرش یک تاجر و نیز خبرنگار روزنامة ایرانیان بود.
استاد لطفی‌زاده از ۱۰ تا ۲۳ سالگی در ایران زندگی کرد و به مدرسة مذهبی رفت. خاندان لطفی‌زاده از اشراف و ثروتمندان ایرانی بودند که همیشه ماشین و خدمتکار شخصی داشتند.
در سال ۱۹۴۲ با درجة کارشناسی مهندسی برق از دانشکده فنی دانشگاه تهران فارغ‌التحصیل شد. او در سال ۱۹۴۴ وارد امریکا شد و به دانشگاه MIT رفت و در سال ۱۹۴۶ درجة کارشناسی‌ارشد را در مهندسی برق دریافت کرد. در سال ۱۹۵۱ درجة دکترای خود را در رشتة مهندسی برق دریافت نمود و به استادان دانشگاه کلمبیا ملحق شد. سپس به دانشگاه برکلی رفته و در سال ۱۹۶۳ ریاست دپارتمان مهندسی برق دانشگاه برکلی را که بالاترین عنوان در رشتة مهندسی برق است، کسب نمود. لطفی‌زاده انسانی است که همیشه موارد مخالف را مورد بررسی قرار داده و به بحث دربارة آن می‌پردازد. این خصوصیت، قابلیت پیروزی بر مشکلات را به لطفی‌زاده اعطا نموده است.
در سال ۱۹۵۶ لطفی‌زاده بررسی منطق چند ارزشی و ارائة مقالات تخصصی در مورد این منطق را آغاز کرد.
پروفسور لطفی‌زاده از طریق مؤسسة پرینستون با استفن کلین آشنا شد. استفن کلین کسی است که از طرف مؤسسة پرینستون، منطق چند ارزشی را در ایالات متحده رهبری می‌کرد. کلین متفکر جوان ایرانی را زیر بال و پر خود گرفت. آنها هیچ مقاله‌ای با یکدیگر ننوشتند، اما تحت تأثیر یکدیگر قرار داشتند.
لطفی‌زاده اصول منطق و ریاضی منطق چند ارزشی را فرا گرفت و به کلین اساس مهندسی برق و نظریة اطلاعات را آموخت.
وی پس از آشنایی با پرینستون، شیفتة منطق چند ارزشی شد.
در سال ۱۹۶۲ لطفی‌زاده تغییرات مهم و اصلی را در مقالة «از نظریة مدار به نظریة سیستم» در مجلة IRE که یکی از بهترین مجله‌های مهندسی آن روز بود، منتشر ساخت. در اینجا برای اولین بار عبارت فازی را برای چند ارزشی پیشنهاد داد.
لطفی‌زاده پس از ارائة منطق فازی، در تمام دهة ۱۹۷۰ و دهة ۱۹۸۰ به منتقدان خود در مورد این منطق پاسخ می‌داد. متانت، حوصله و صبوری استاد در برخورد با انتقادات و منتقدان منطق فازی از خود بروز می‌داد، در رشد و نمو منطق فازی بسیار مؤثر بوده است، به طوری که رشد کاربردهای کنترل فازی و منطق فازی در سیستم‌های کنترل را مدیون تلاش و کوشش پروفسور لطفی‌زاده می‌دانند و هرگز جهانیان تلاش این بزرگ‌مرد اسطوره‌ای ایرانی را فراموش نخواهند کرد.
▪ تصمیم‌گیری فازی
مسائل بهینه‌سازی را با محدودیت‌ها در نظر می‌گیرد:
ـ اصل منطق فازی
ـ استدلال تقریبی
ـ سیستم‌های خبره فازی
ـ منطق فازی و هوش مصنوعی
ـ عدم قطعیت و اطلاعات
ـ تصمیم‌گیری فازی
ـ سیستم‌های فازی
ـ ریاضیات فازی
ـ نظریه فازی
ـ مخابرات
ـ پردازش سیگنال فازی
ـ کنترل فازی
ـ متعادل سازی کانال
ـ بازشناسی الگو پردازش تصویر
ـ طراحی کنترل کننده
ـ تحلیل پایداری
ـ تئوری امکان
ـ اندازه گیری عدم قطعیت
ـ بهینه‌سازی چندگانه برنامه‌ریزی فازی
ـ مجموعه‌های فازی
ـ اندازه‌گیریهای فازی
ـ تحلیل فازی
ـ روابط فازی
ـ توپولوژی فازی

صمد حسین زاه