نگاشت لجستیک، مدلی آشوبگونه برای آریتمی قلبی

تئوری آشوب دانشی است نوین که برای توصیف بسیاری از پدیده ها با موفقیت به کار گرفته شده است که از جمله آن ها می‌‌توان آریتمی های قلبی را نام برد. برای تحلیل ارتباط بین آشوب و رفتارهای ناهنجار قلب، ابتدا تئوری آشوب و دو شاخگی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. سپس به بررسی تغییرات ضربان هنگام وقوع آریتمی قلبی نگاشت لجستیک به عنوان مدلی که منطبق بر رفتار سری های زمانی فواصل بین ضربانی در هنگام وقوع آریتمی ها خواهیم پرداخت.
آشوب واژه ای است که رفتار به ظاهر پیچیده را در سیستم هایی که خوش رفتار و ساده به نظر می‌رسند توصیف می کند. رفتار آشوبگونه، در نگاه اول بی نظم و تصادفی به نظر می رسد، مانند رفتار سیستم پیچیده ای با درجات آزادی بسیار زیاد یا مانند رفتار سیستمی که تحت تاثیر نویز خارجی قرار گرفته است.
این گونه رفتار در هنگام وقوع آریتمی های قلبی نیز به وضوح دیده می شود. در واقع فواصل بین زمانی سیگنال های الکتریکی قلب و در نتیجه ضربان آن در طول وقوع آریتمی با حالت طبیعی متفاوت است. این تغییر در سرعت ضربان قلب، به گونه¬ای است که سری های زمانی فواصل بین ضربانی با دوشاخه شدن به سمت آشوب می‌روند. بنابراین برای توصیف رفتار این سری‌های زمانی می‌توان از معادلات تفاضلی آشوبناک استفاده کرد.
● آشوب
رفتار آشوبگونه در سیستم های بسیار ساده (با تعداد درجه آزادی بسیار محدود) و تقریبا عاری از نویز بروز پیدا می‌کند. در واقع عامل ایجاد رفتار پیچیده در این سیستم ها دینامیک غیرخطی آنها است. بدین معنی که متغییرهای دینامیکی که رفتارهای سیستم را توصیف می کنند، به فرم غیر خطی در رابطه حضور دارند. در یک سیستم آشوبناک رفتار سیستم نامتناوب است و نسبت به شرایط اولیه حساسیت وجود دارد. علی رغم این گونه رفتارها، سیستمهای آشوبناک معین هستند و نه تصادفی. اگر در سیستمی با داشتن معادلات زمانی، مقدار پارامترهای توصیف کننده سیستم و شرایط اولیه بتوان رفتار سیستم را به طور کامل تعیین کرد، آن سیستم معین نامیده می‌شود. اهمیت علم آشوب آن است که توصیفی جایگزین برای رفتارهای به ظاهر تصادفی، در سیستم های معین ارائه می دهد. اگر به تغییرات فواصل زمانی بین ضربان‌ها در طول به وجود آمدن آریتمی قلبی توجه شود، ملاحظه می شود که این تغییرات آشکارا نوسانات نامنظم دارند و الگوی رفتاری آن ها سازگار با آشوب قطعی است.
● دوشاخه شدن
دوشاخه شدن به معنای از هم گسیختن، به دو قسمت تقسیم شدن و تغییر است. در سیستم های دینامیکی هدف از بررسی تئوری دوشاخگی مطالعه تغییرات نگاشت با تغییر پارامتر است. در ادامه با بیان نتیجه تئوری معیار دوشاخگی، این پدیده را بیشتر بررسی می‌کنیم.
اگر FA تابعی (نگاشتی) باشد که به پارامتر A وابسته است، آنگاه نقطه Xe که در رابطه FA ( Xe) = Xe صدق می‌کند، یک نقطه ثابت برای این تابع خواهد بود. اگر مشتق تابع FA در نقطه ثابت آن برابر با ۱ شود (نقطه ثابت ناپایدار شود)، آنگاه این نقطه ثابت ناپایدار شده و دو نقطه ثابت جدید به وجود می‌آیند. این روند در مورد نقاط ثابت جدید نیز با تغییر پارامتر A ادامه می‌یابد. بدین ترتیب تعداد نقاط ثابت تغییر کرده و FA با تغییر A مرتبا دچار دوشاخگی می‌شود. بسیاری از نگاشت ها از جمله نگاشت مربعی و لجستیک، از طریق دوشاخه شدن به آشوب می‌روند.
● آریتمی قلبی
هنگامیکه دو یا چند نوسان ساز با یکدیگر جفت شوند به طوری که فیدبک آن ها برهم تاثیر گذارد، رفتار آشوبگونه اتفاق می افتد. در قلب کلسیم بین سلولی به دقت توسط تعدادی فرایند کوپل شده، دقیقا مانند اسیلاتورهایی که جفت شده باشند، تنظیم می شود به طوری که به صورت متناوب میزان آن کم و زیاد می شود[۷]. نویسندگان در مقاله [۷] علت ایجاد الگوی ضربان نامنظمی که رفتار آشوبگونه را نشان می دهد، میزان اضافی کلسیم بین سلولی در قلب می دانند. برای آزمایش این نظریه به قلب سالم در شرایط آزمایشگاهی داروی ouabin را تا حدی که تمرکز آن ایجاد مسمومیت کند، تزریق کردند. با ثبت پتانسیل عمل تک فاز و سپس گسسته‌سازی آن و محاسبه فواصل بین ضربان های متوالی، مشاهده شد که پس از اثر کردن دارو قلب ابتدا دچار ضربان های تند ولی منظم شد. متوالیا قلب شروع به نوسان با الگوی bigeminal کرد، که فواصل زمانی کوتاه پس از فواصل زمانی طولانی ظاهر می شدند. آریتمی خود به خود به صورت تناوب های مرتبه بالاتر quadrigeminy گسترش یافت و سرانجام کاملا نامنظم شد به طوری که هیچ الگوی تکرار شونده ای نداشت. آن طور که انتظار می رفت فواصل زمانی بین ضربان‌ها در طول آریتمی الگوی نامنظم و تصادفی نداشت. بلکه در نگاشت پوانکاره نواحی وجود داشتند که تمرکز آن ها از نواحی دیگر بیشتر بود. این نشانه کلاسیک آشوب است. ساختار ناهنجاری که نواحی با چگالی بالا را ایجاد کرده به عنوان جذب کننده خارجی نام دارد، زیرا نقاط ترجیحا به سمت این ناحیه جذب می شوند. بدین ترتیب دوشاخه شدن در طول وقوع آریتمی و حرکت به سمت آشوب به وضوح در این آزمایش دیده می‌شود. در نتیجه وقتی که قلب به سمت آریتمی قلبی می‌رود، سرعت ضربان تغییر می کند. محدوده این تغییرات از حالت طبیعی، یعنی حدودا ۷۵ ضربان در دقیقه (که با فاصله بین ضربانی ۸/. ثانیه معادله است) تا ۱۰۰ ضربان در دقیقه (فاصله بین ضربانی ۶/. ثانیه) متغییر است [۳]. بنابراین می‌توان سری های زمانی بین موج های R در الکتروکاردیوگرام را که روشی معمول برای اندازه گیری زمان بین ضربانی است، در هنگام وقوع آریتمی قلبی، با معادلات تفاضلی، مثلا نگاشت‌های یک بعدی بیان کرد[۵،۶]. ازاین رو در ادامه نگاشت لجستیک بررسی و به عنوان مدلی ساده به منظور کنترل و پیشگیری از وقوع آریتمی قلبی پیشنهاد داده می‌شود.
● نتیجه گیری
از آنجا که فواصل بین ضربانی در طول وقوع آریتمی قلبی مقادیری بین صفر و یک اختیار می کنند (همانطور که در بخش قبل مقادیر ۸/۰ و ۶/۰ ثانیه دیده شد) و روند آشوبناک شدن آن ها نیز در طول به وجود آمدن آریتمی از طریق دوشاخه شدن است، نگاشت لجستیک را می‌توان به عنوان مدلی ساده برای آریتمی قلبی در نظر گرفت که در آن A پارامتریست که تغییر آن در محدوده معین، حالت ضربان متناوب یا آشوبگونه را به وجود می‌آورد.

منابع
[۱] Hilborn R C; Iterrated Maps, In Second edition, Chaos and Nonlinear Dynamics; OXFORD University Press.
[۲] Small M, Yu D, Harrison R G; Observation of period doubling bifurcation during onset of human ventricular fibrillation; IJBC ۲۰۰۳; ۱۳(۳) ۷۴۳-۷۵۴
[۳] Flavio H Fenton et al.; Scholarpedia ۲۰۰۸, ۳(۷):۱۶۶۵
[۴] Devaney R L; Bifurcation Theory In Second edition, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems; Addison-Wesley Publishing Company;۱۹۸۹:۸۰-۹۳.
[۵] Glass L, Zeng W; Bifurcation in Flat-Topped Maps and the Control of Cardiac Chaos; IJBC ۱۹۹۴; ۴(۴):۱۰۶۱-۱۰۶۷.
[۶] Guarong Chen, ”Controlling Chaos and Biforcations in Engineering Systems”, CRC Press ۲۰۰۰.
[۷] Weiss J N, Garfinkel A, Spano M L, and Ditto W L, “Chaoc and Chaos Control in Biology“,The American Society for Clinical Investigation, Inc. Vol. ۹۳, pp. ۱۳۵۵-۱۳۶۰, ۱۹۹۴.
[۸] ترجمه کتاب Chaos and Nonlinear Dynamics(Hilborn)؛ دکتر علی مطیع نصرآبادی

منبع : ماهنامه تخصصي مهندسي پزشکي