پیشرفت جدید بنیان های ریاضیات در پرتو فلسفه

در اینجا تلاش خواهم کرد به زبان مفاهیم فلسفی، توصیفی از پیشرفت پژوهش های بنیادین در ریاضیات -که در اوایل قرن حاضر غقرن بیستمف شروع شده - به دست دهم و آن را در یک ساخت بندی کلی از جهان بینی های (Weltanschauungen) فلسفی ممکن جای دهم. برای این منظور ضروری است که ابتدا خود ساخت بندی واضح شود. بر این باورم که سودمندترین اصل برای به دست آوردن دیدی فراگیر درباره جهان بینی های ممکن تقسیم ها بر حسب درجه و روش بستگی و نزدیکی شان به متافیزیک ( یا دین ) یا رویگردانی شان از آن است. با این روش بلافاصله به یک تقسیم بندی دوتایی می رسیم؛ در یک طرف شکاکیت، ماتریالیسم و پوزیتیویسم قرار می گیرند و در طرف دیگر روح باوری، ایده آلیسم والهیات. در این سلسله غگرایش هاف درجاتی نیز مشهود است، چنان که شک گرایی نسبت به ماتریالیسم از الهیات دورتر است حال آنکه از سوی دیگر ایده آلیسم، مثلاً در شکل وحدت وجودی آن، صورت ضعیف شده ای از الهیات به معنای دقیق کلمه است.
این ساخت بندی برای تحلیل آموزه های فلسفی در زمینه های خاصی سودمند و قابل قبول از آب درمی آید. آموزه هایی که فرد بخواهد با این روش به آنها نظم بخشد، یا در موارد التقاطی، درصدد یافتن عناصر مادی گرایانه و روح گرایانه آنها برآید. بنابراین می توان گفت مثلاً باور به داشتن دانش پیشینی (apriorism) در اصل متعلق به گرایش راست غایده آلیسم و الهیاتف و تجربه گرایی متعلق به گرایش چپ غشک گرایی و ماتریالیسمف است. هرچند از طرف دیگر موارد التقاطی مثل الهیات بر پایه تجربه گرایی هم وجود دارد. ضمناً این را نیز می توان دید که خوشبینی در اصل متعلق به گرایش راست است و بدبینی متعلق به چپ، چون قطعاً شک گرایی نوعی بدبینی در مورد شناخت است. به علاوه ماتریالیسم تمایل دارد که جهان را توده ای بی نظم و بنابراین بی معنا از اتم ها در نظر گیرد در حالی که الهیات و ایده آلیسم در همه چیز معنا، هدف و دلیل می بیند. از سوی دیگر بدبینی شوپنهاور موردی التقاطی، یعنی نوعی ایده آلیسم بدبینانه است. مثالی دیگر؛ نگره ای که آشکارا در سمت راست ایستاده، نگره حقوق و ارزش های زیبایی شناسی عینی است، حال آنکه تفسیر اخلاق و زیبایی شناسی بر پایه سنت و تربیت و... متعلق به گرایش چپ است.
امروزه این امری آشنا و حتی کلیشه ای است که پیشرفت فلسفه از رنسانس تا به امروز روی هم رفته با حرکت از گرایش راست به سمت گرایش چپ بوده است. به ویژه در فیزیک این پیشرفت در زمان ما به اوج خود رسیده است. در وضع کنونی، تا حدود زیادی، امکان به دست آوردن شباهت از وضعیت عینی امور انکار می شود و ادعا بر این است که باید به پیش بینی نتایج مشاهدات قانع باشیم. حقیقتاً این پایانی است بر هرگونه علم نظری به معنای معمول کلمه (هرچند چنین پیش بینی ای می تواند برای اهداف خاصی مثل ساختن دستگاه تلویزیون یا بمب اتمی کاملاً بسنده باشد.)
این را می توان به درستی یک معجزه دانست اگر این پیشرفت (که می خواهم بر آن نام خشک مغزی گذارم) خود وارد مفهوم ریاضیات نشده باشد. عملاً ریاضیات با طبیعتش به عنوان دانشی پیشینی، در خود و با خود، همیشه تمایل به گرایش راست دارد. به همین دلیل در مقابل روح زمانه (zeitgeist) که از رنسانس تا به امروز حکمفرما بوده مقاومتی طولانی کرده است؛ یعنی از نگره تجربه گرایانه ریاضی از آن دست که میل مطرح کرد حمایت چندانی نشد. در واقع ریاضیات به بیشترین درجه انتزاع در تاریخ خود دست یافته است و مبانی آن بیش از هر وقت دیگری - با قرار دادن بنیان های دقیق برای حساب بی نهایت خرد و اعداد مختلط- وضوح یافته است. این وضوح به دور از ماده و بنابراین به دور از شک است.
هرچند بالاخره در اوایل قرن بیستم زمان آن هم به سر آمد، به ویژه با تنازع های نظریه مجموعه ها، همان تناقض هایی که گفته می شد درون ریاضیات پدیدار شدند؛ شک گرایان و تجربه گرایان در اهمیت آنها اغراق کردند و چپ گرایان آنها را بهانه ای برای خیزش خود قرار دادند. «گفته می شد» و «اغراق کردند» را به کار بردم برای اینکه اولاً این تناقض ها در درون ریاضیات پدیدار نشدند بلکه در حوالی دوردست ترین مرزهای آن و در نزدیکی فلسفه رخ نمودند. ثانیاً به شیوه ای کاملاً رضایتبخش حل شدند، این راه حل ها برای کسانی که آنها را بفهمند تقریباً بدیهی اند. هرچند این بحث ها به درد مبارزه با روح زمانه نمی خورد و نتیجه این شد که بیشتر ریاضیدانان انکار کنند که ریاضیات، آن گونه که قبلاً بوده دستگاهی از حقایق را باز می نماید. به جای آن به این ویژگی فقط برای بخشی از ریاضیات (بسته به مزاج هر یک، بخش بزرگ یا کوچکی) اعتراف کردند و باقی ریاضیات را در بهترین حالت فرضی دانستند، یعنی در این بخش ریاضیات، نگره تنها از این امر به معنای واقعی کلمه دفاع می کند که از فرض های معین (که خودشان اثبات ناشدنی اند) به نحوی توجیه پذیر می توان نتایج معینی به دست آورد. بدین سان آنها خیال می کنند هرآن چه را که ضروری است واقعاً حفظ کرده اند. بنابراین در نهایت چیزی که مورد علاقه ریاضیدانان است علاوه بر به دست آوردن نتایج از این فرض ها، آن چیزهایی است که می توان به آنها وفادار ماند غیعنی خود فرض هاف. در حقیقت با این روش ریاضیات تبدیل به یک علم تجربی می شود. چون اگر از اصول موضوعه ای که به دلخواه فرض شده اند به گونه ای ثابت شود که هر عدد طبیعی حاصل جمع چهار مربع است، این به هیچ وجه با قطعیت ثابت نمی کند که هرگز مثال نقضی برای این قضیه پیدا نخواهد شد. چون این اصول موضوعه در نهایت می توانند ناسازوار باشند و از آنجا که با وجود استنتاج های فراوان تا اینجا مثال نقضی دیده نشده حداکثر این نتیجه را می توان با احتمال خاصی صادق دانست. به علاوه به سبب این برداشت فرضیه ای از ریاضیات، بسیاری از سوال ها شکل «آیا گزاره A برقرار است یا نه؟» را از دست می دهند. چون از فرض هایی که به غاموریف کاملاً دلبخواهی تعبیر می شوند، البته انتظار نمی رود که این ویژگی عجیب را داشته باشند که حاکی از آن باشند که در هر مورد A یا ~A غدرست استف.
این نتایج با توجه به روح زمانه خیلی هم خوب هستند، غاماف اینجا عکس العملی شروع شده آشکارا نه از طرف فلسفه، بلکه از سوی ریاضیات، که همان طور که ذکر شد نسبت به روح زمانه بسیار متمرد و سرکش است. از این رو به همان موجود دوجنسی عجیبی تبدیل شد که فرمالیسم هیلبرت باز می نماید. این دستگاه می خواهد عدالت را بین روح زمانه و طبیعت ریاضیات رعایت کند و شامل این امور است؛ از یک سو، در پیروی از ایده های فلسفه امروز، اعتراف می کند که صدق اصول موضوعه - که ریاضیات با آنها شروع به کار می کند - به هیچ وجه نمی تواند اثبات یا بازشناخته شود. بنابراین به دست آوردن نتایج از آنها فقط معنایی فرضی دارد. بر این اساس از همین استخراج نتیجه هم ( برای بیشتر راضی کردن روح زمانه ) به بازی صرف با سمبل ها بر طبق قواعدی معین تعبیر می شود که بصیرتی هم پشت آن نیست. از سوی دیگر به باوری می چسبد که مطابق با «گرایش راست» کهن فلسفه ریاضیات و غریزه ریاضیدان است. چنان که هر اثباتی برای مثلاً این گزاره که هر عددی را می توان به شکل حاصل جمع چهار مربع بازنمایی کرد، پایه استواری برای گزاره مذکور به دست می دهد. از این گذشته در ریاضیات هر پرسشی که پاسخ آن بله یا خیر است اگر با دقت فرمول بندی شده باشد آنگاه باید پاسخ شسته و رفته ای داشته باشد. یعنی به دلیل غوجودف قواعد ذاتاً بی اساس بازی با سمبل ها و به عنوان ویژگی ای که می توان گفت تصادفاً به این قواعد ضمیمه شده، اگر بخواهیم یکی از دو گزاره A و ~A را اثبات کنیم، همیشه دقیقاً یکی از این دو استنتاج خواهد شد و اینکه استنتاج هر دو غباهمف سازگار نیست و همیشه یکی از این دو را می توان استنتاج کرد بدان معناست که آن پرسش ریاضی که با A بیان شده را می توان به شکلی دقیق و بی ابهام پاسخ داد. البته اگر بخواهیم این دو مطلب را با قطعیت ریاضی اثبات کنیم باید اعتراف کنیم که بخش خاصی از ریاضیات به معنای کهن فلسفه راست گرایانه، صادق است. اما این بخش بسیار کمتر از تجرید فوق العاده نظریه مجموعه ها با روح زمانه در تعارض است. چون این بخش تنها به امور موردی و متناهی (یعنی آمیزه ای از سمبل ها) برمی گردد.آنچه تا اینجا گفتم تنها اموری واضح بودند و صرفاً به این جهت یادآوری شان کردم که برای آن چه پس از این خواهم گفت حائز اهمیتند. اما گام بعدی پیشرفت ریاضیات چنین است؛ نجات جنبه راست گرایانه کهن ریاضیات به شیوه ای کم و بیش موافق با روح زمانه غیرممکن از کار درآمد. حتی اگر خود را در نظریه اعداد طبیعی محدود کنیم محال است بتوان دستگاهی از اصول موضوعه و قواعد صوری یافت که برای هر گزاره A در نظریه اعداد از این دستگاه همیشه A یا ~A قابل استنتاج باشد. وانگهی به دلیل اصول موضوعه منطقاً فراگیر ریاضیات، غیرممکن است بتوانیم بدون معرفی عناصر انتزاعی تر، صرفاً با اندیشیدن درباره آمیزه ای معین از سمبل ها، اثباتی برای سازگاری بسازیم.
بنابراین دو امکان پیش روی ما باز می ماند؛ یا باید جنبه های راست گرایانه کهن ریاضیات را کنار گذاشت یا این جنبه ها را غبا وجودف مغایرت با روح زمانه حفظ کرد. آشکارا راه اول غیعنی کنار گذاشتن راست گرایی کهنف تنها راه درخور زمانه ماست، به همین دلیل است که معمولاً برگزیده می شود. هرچند باید در خاطر داشت که این صرفاً رهیافتی منفی است. فقط جنبه هایی کنار گذاشته می شوند که پایبندی به آنها در هر مورد می تواند کاملاً مطلوب باشد، جنبه هایی که خود را جالب جلوه می دهند؛ یعنی از طرفی سپر ریاضیات و قطعیت این دانش هستند و از طرف دیگر بر این باور صحه می گذارند که خرد می تواند به پرسش هایی که خود به روشنی طرح کرده است، پاسخ های روشنی بدهد و باید خاطرنشان کرد چنین نیست که دستاورد های ریاضیات ما را وادار به کنار گذاشتن این جنبه ها کنند. بلکه کنار گذاشتن این جنبه ها -برخلاف دستاوردها- تنها راه ممکن برای همسویی با فلسفه غالب است.
حال می توان چشم ها را بر پیشرفت های بزرگی که زمانه ما در بسیاری از زمینه ها به نمایش گذاشته نبست و می توان در نهایت انصاف بر این نکته پای فشرد که این پشرفت ها تنها ناشی از همین روح چپ گرایانه در فلسفه و جهان بینی هستند. اما از سوی دیگر اگر از منظر درست تاریخی به این موضوع بپردازیم باید گفت که پربار بودن ماتریالیسم تا اندازه ای به دلیل افراط و جهت گیری غلط فلسفه پیشین بوده است. تا آنجا که درستی و غلطی، یا به ترتیب صدق و کذب این دو جهت گیری مدنظر باشد به نظرم نگرش درست این است که حقیقت، جایی میان این دو برداشت یا شامل آمیزه ای از هر دو آنهاست. البته هیلبرت در مورد ریاضیات برای چنین آمیزه ای تلاش کرد اما آمیزه او آشکارا بسیار ناپخته بود و گرایش قوی به یک جهت داشت. دلیلی ندارد که در هیچ موردی کورکورانه به روح زمانه اعتماد کنیم و بنابراین بی تردید آزمودن جایگزین های دیگر که پیشتر ذکر شدند و دستاورد ها حاکی از باز بودن بودند - به این امید که در این راه به آمیزه ای کارا برسیم - به زحمتش می ارزد. آشکارا این بدان معناست که قطعیت ریاضیات باید حفظ شود ولی نه با اثبات یک سری ویژگی های بخصوص به واسطه فرافکنی به دستگاه های مادی (یعنی با دستکاری سمبل های مادی) بلکه با پروردن (و عمق بخشیدن به) شناخت نسبت به خود این مفاهیم انتزاعی که منجر به برپا شدن این دستگاه های مکانیکی می شوند. همچنین و به همان روش - با تلاش برای به دست آوردن بصیرت درباره حل پذیری و راه حل های واقعی مسائل معنادار ریاضیات.
از چه راهی ممکن است بتوانیم دانش خود را درباره این مفاهیم انتزاعی گسترش دهیم؟ یعنی چگونه می توان به خود این مفاهیم برای به دست آوردن بصیرتی فراگیر و استوار درباره روابط بنیادینی که بین آنها جاری است، وضوح بخشید؟ چگونه می توان نسبت به اصول موضوعه ای که به جای این مفاهیم نشسته اند بصیرت یافت؟ آشکارا با تلاش برای به دست دادن تعاریف قاطع و آوردن اثبات برای اصول موضوعه نمی توان چنین کاری کرد، یا دست کم در هیچ موردی این تنها راه نیست. چرا که برای این کار غبازف به مفاهیم انتزاعی و اصول موضوعه تعریف ناشدنی دیگری احتیاج خواهیم داشت که جای آنها بنشیند. در غیر این صورت چیزی در دست نداریم که بتوان براساس آن تعریف یا اثباتی به دست داد. بنابراین روند کار باید - دست کم تا حدود زیادی - شامل گونه ای ابهام زدایی از معنا باشد که مبتنی بر ارائه تعریف نیست.
در واقع امروز شاهد شروع علمی هستیم که ادعا دارد از چنین روشی برای ابهام زدایی از معنا برخوردار است، این علم همان پدیدارشناسی است که توسط هوسرل پایه گذاری شده است. در اینجا ابهام زدایی از معنا مبتنی است بر تمرکز بیشتر روی مفاهیم، در رابطه با جهت دهی توجهمان به سمت و سویی خاص، یعنی به سوی عمل خودمان وقتی این مفاهیم را به کار می بندیم، به سوی توانایی هایمان در به کار بردن این مفاهیم و غیره. اما بی گمان باید این را در خاطر داشته باشیم که پدیدارشناسی به آن معنا که علوم دیگر علم هستند، علم نیست. بلکه روند یا فنی است - یا در هر مورد باید باشد - که در ما وضعیتی جدید از آگاهی را ایجاد کند که در آن مفاهیم بنیادینی را که در اندیشه مان به کار می بریم جزء به جزء تعریف کنیم یا مفاهیم دیگری را درک کنیم که پیش از این برایمان مجهول بودند. من بر این باورم که هیچ دلیلی وجود ندارد که از همان آغاز کار بر چنین فرآیندی نام مایوس کننده بگذاریم و آن را رد کنیم. البته تجربه گرایان کمترین دلیل را برای رد آن دارند چون این کار آنها بدان معنا خواهد بود که تجربه گرایی شان در حقیقت نوعی قبول دانش پیشینی است که نام آن را عوض کرده اند.
نه تنها دلیلی عینی برای رد پدیدارشناسی در دست نیست بلکه در مقابل، می توان دلایلی به نفع آن اقامه کرد. اگر رشد یک کودک را در نظر گیریم در خواهیم یافت که این رشد در دو راستا در جریان است؛ از یک طرف شامل تجربه کردن اشیای جهان خارج به وسیله اندام های حسی و حرکتی است و از طرف دیگر شامل رسیدن به فهم بهتر و بهتری از زبان. این فهم بهتر وقتی است که کودک فراتر از صدا زدن ابتدایی اشیا رود و به سوی آن مفاهیم بنیادینی حرکت کند که این صدا زدن بر آنها استوار است. با توجه به رشد در این دومین راستا می توان به نحو معقولی گفت که کودک در حال عبور از وضعیت های آگاهی است که این وضعیت ها نسبت به هم درجاتی دارند. یعنی می توان گفت که وقتی کودک برای اولین بار کاربرد واژه ها را می آموزد به وضعیت بالایی از آگاهی رسیده است و به گونه ای مشابه وقتی برای اولین بار یک استنتاج منطقی را درک می کند به وضعیت بالاتری رسیده. غ...ف
من به این نکته باور دارم چون در تحلیل نهایی، فلسفه کانت مبتنی بر ایده پدیدارشناسی است، گرچه نه به گونه ای کاملاً واضح و از این رهگذر امور کاملاً جدیدی را در اندیشه ما به وجود آورده است و من معتقدم که در واقع این ویژگی هر فلسفه اصیلی است. تاثیرات بی شماری که کانت بر پیشرفت کل فلسفه پس از خود گذاشت باقی است. در واقع مشکل بتوان راستایی غفلسفیف را پس از کانت یافت که به نحوی با ایده های او مرتبط نباشد. از طرف دیگر - به دلیل عدم وضوح و غلط بودن ظاهری بسیاری از صورت بندی های کانت - از درون اندیشه های او جهات بسیار واگرایی رشد کردند. هر چند هیچ یک از آنها واقعاً درباره هسته افکار کانت منصف نبودند. به نظر من پدیدارشناسی برای اولین بار به این نیاز پاسخ گفت، پدیدارشناسی ای که (همان طور که خود کانت این کار را انجام داد) درست به اندازه نقد پوزیتیویستی به تمام متافیزیک ها از پرش های مرگبار ایده آلیسم به سوی یک متافیزیک جدید پرهیز کرد. حال اگر کانت کژ فهمیده شده امروز منجر به خیلی چیزهای جالب در فلسفه - و به طور غیرمستقیم در علم - شده است، چه چیزهای بیشتری را می توان از کانتی که درست فهم شود انتظار داشت؟

کورت گودل مترجم : علیرضا نجمی
منبع؛ Marxists.org

منبع : روزنامه شرق