درآمدی فلسفی بر هندسه تصویری

کندوکاوی در گرایش شهودی دکتر محسن هشترودی

تفکر هندسی در ریاضیات و جست وجوی عنصر دیفرانسیل حجم در مشاهده «عین» و انتزاع ذهنی آن، درک عامی در بیان فضا به عنوان عنصر اصلی تصویرگری «احساس» و «ادراک» مطرح می کند که ضرورتاً کاربرد لفظ «فضا» را وسعت می بخشد. با حرکت از مبداء «نقطه» در هندسه که نماد بی حرکتی و بی بعدی است، بعد «خط»، در تضاد با بی بعدی به عنوان یک مفهوم ذهنی می شود و «امتداد» معنی پیدا می کند. با حرکت از مبداء «خط» که نماد بی سطحی و «امتداد» یک بعدی است بعد سطح در تضاد با امتداد به عنوان یک مفهوم ذهنی می شود و «سطح» دوبعدی معنی پیدا می کند. این مفهوم در بازگشت به مصداق عینی خود «انحنا» را تعریف می کند که کیفیتی بینابینی میان امتداد و سطح است. با حرکت از مبداء سطح که نماد بی حجمی و انحنای دوبعدی است بعد حجم در تضاد با انحنا به عنوان یک مفهوم در ذهن متولد می شود. این مفهوم در بازگشت به مصداق عینی خود «خم» را تعریف می کند که کیفیتی بینابینی میان سطح و حجم است. این، مسیر تعمیم مفهوم نقطه به عنوان عنصر بی نهایت کوچک یا سلول بنیادی «فضا» است که حد آن از صفر تا بی نهایت تغییر می کند و بافت های تکامل یافته را تشکیل می دهد و همین تعمیم است که ضرورتاً کاربرد لفظ فضا را گسترش می دهد و «نقطه مادی» را تعریف می کند. این تعریف را لزوماً نمی توان از مفهوم حرکت جدا کرد. نقطه مادی چیست؟ یک خط از چند نقطه مادی تشکیل شده است؟ یک سطح از چند نقطه؟ یک حجم از چند نقطه؟ برای همه جواب «بی نهایت» است، بی نهایت چیست؟

برتراند راسل در جایی گفته است؛ «حساب دیفرانسیل و انتگرال به پیوستگی نیاز دارد و پیوستگی محتاج بی نهایت کوچک است. اما هیچ کس تاکنون نتوانسته کشف کند بی نهایت چیست.» البته این یک استنتاج استقرایی است. در مکانیک نیوتنی «نقطه مادی» با حرکت تعریف می شود و پیوستگی کیفیت حرکت است. اگر محتوای آنالیز ریاضی را در زمینه توضیح نقطه مادی و مسیر آن مورد توجه قرار دهیم به وضوح تلفیق مفاهیم جبری و هندسی و در واقع وحدت دو کیفیت متضاد انفصال و اتصال را، منتها در حد بالاتری از انتزاع درک خواهیم کرد. مفاهیم دیفرانسیل و انتگرال چیزی جز تلفیق این دو کیفیت نیست؛ تقسیم یک کل به بی نهایت جزء «بی نهایت کوچک» و تحویل بی نهایت جزء «بی نهایت کوچک» به یک عنصر ریاضی و این در واقع تکامل حرکت از کل به جزء و از جزء به کل است. در خارج از این تعامل استنتاج استقرایی یعنی ادراک «بی نهایت» با تجربه مستقیم، ممکن نیست.

«بی نهایت» یک الزام ریاضی است. مفهوم «پیوستگی» بر مبنای کیفیت «بی نهایت کوچک» در ریاضیات قرن ۱۶ فرموله و تاریخی شد. مساله اصلی بینش و نظرگاه یک فیلسوف در تبیین کلیت مفهوم فضا است؛ فضای شعر، فضای قصه، فضای تابلوی نقاشی، فضای آهنگ موسیقی، فضای معماری۲ و به طور کلی تفکر حجمی زمینه یی است که عمومی کردن ریاضیات و ریاضیدان اندیشمند را معنی می کند و «هشترودی» از این جهت یک ریاضیدان اندیشمند است که تفکر حجمی را در تمام آثارش تجربه کرده است. از این رو است که نکته اصلی در پردازش رساله اش تعمیم ابعاد فضاهای تصویری تا بعد n ام است و این همان نگرش هرمنوتیک بر عنصر «فضا» است که اساس آن بر تعمیم از ملموس به مجرد است و بازگشت از مجرد به ملموس. و حرکت دائم از عین به ذهن و از ذهن به عین. از استقرا به قیاس و از قیاس به استقرا. منتها مسیر این حرکت دایره یا بیضی بسته نیست، یک سیکلوئید است با نقاط ماکزیمم فزاینده. ویژگی اصلی این حرکت توضیح روشن تر ابهامات و تناقضات ساختاری مسائل فضای n-۱ بعدی توسط الزامات ریاضی عناصر منطقی فضای n بعدی است. در سیر بی نهایت است که استقرای ریاضی خود صورت قیاسی پیدا می کند و این همان استحاله کیفی است. به عبارت بهتر به تعبیر ماکس پلانک برای صعود به قله کمال فکری باید از دامنه های پایین آن گذشت. بدیهی است هر چه بالاتر برویم افق دید ما وسیع تر و نقطه عزیمت ما کوچک تر به نظر خواهد رسید و «ارتباطات جدید» ی تعریف خواهد شد. این «ارتباطات جدید» همان نکته اصلی است که دکتر مسعود خلخالی در تجلیل از «هشترودی» با تحلیل رساله اش تذکر داد.۳

قرن ها بشر در فضای هندسه اقلیدسی اندیشیده است. تفکر تعمیمی- توسیعی براساس مکانیسمی که گفته شد، ضرورت تغییر کیفی در نگرش تاریخی به هندسه را پیش آورد و با نقد مبانی و اصول موضوعه اقلیدس به خصوص اصل پنجم آن «اصل توازی»، ویژگی این تغییر کیفی را در مدل ریاضی و معادلات دیفرانسیلی آن نشان داد. هندسه هایی به وجود آمدند که اصل توازی را نقض می کردند. داستان چگونه بود؟ همه چیز از نقد اصل توازی به وجود آمد. اصول موضوعه اقلیدس که ۲۵ قرن مقبول مطلق و بلامنازع اصحاب اندیشه ریاضی بود، با تصور و درک فضاهای تازه که ضرورتاً منجر به تصویر و وضع هندسه های جدید در قرن نوزدهم شد، با بحران هویتی عظیمی مواجه شد که اعتبار موضوعی این اصول را در بیان واقعیت های متحقق فیزیکی و عینیت های مشهود مورد تهدید جدی قرار داد.

اقلیدس گفته بود؛ «از یک نقطه واقع در خارج یک خط راست، یک خط و فقط یک خط می توان به موازات آن رسم کرد.»

ولی فردریک برنهارد ریمان (۱۸۶۶- ۱۸۲۶) گفت؛ «از نقطه مفروض فوق؛ هیچ خطی نمی توان به موازات خط مفروض رسم کرد.»

و... نیکلای ایوانویچ لباچفسکی (۱۸۵۶- ۱۷۹۳) گفت؛ «از نقطه مفروض فوق بی نهایت خط می توان به موازات خط مفروض رسم کرد.»

رفت و آمد نظری بین لین «هیچ» و «همه»، در قرن نوزدهم به «همهمه» یی ساختارشکن تبدیل شد و سرانجام پس از تصویر فضاهای جدید و رفع ابهامات رازآلود از «تخیلات» و «تصورات» موجود و مولود، بار دیگر «انسان مطلق شکن و خلاق، طعم گندم را در بهشت هندسه اقلیدسی چشید و از آنجا رانده شد.» هندسه اقلیدس» بنیان گرفت و به «تصویر» نشست و «فرموله» و «مدله» شد و فضاهای جدید «تعریف» شد و...، «هندسه کیهانی» به وجود آمد.

و این داستان ادامه دارد. تا این بار در کجای «کجاآباد» تاریخ، انسان فزونی طلب، برتری جوی، مطلق ستیز، افلاک را سقف بشکافد و طرح نو دیگری دراندازد.

وقتی مفهوم «بی نهایت» را به تعریف دو خط موازی وارد کنیم که «دو خط موازی در بی نهایت یکدیگر را قطع می کنند»، نقاط تقاطع در بی نهایت- گرچه ذهنی- معنی پیدا می کنند و «نقطه بی نهایت» تعریف می شود. «نقطه بی نهایت» چیست؟ با شهود هندسی-در هندسه اقلیدسی- می توان تصور کرد اگر خط راستی که متقاطع با خطی دیگر است به آرامی دوران داده شود تا در موقعیتی موازی با خط دیگر قرار گیرد، نقطه تقاطع دو خط دور می شود و به سمت بی نهایت می رود. به زبان ساده می توانیم بگوییم این دو خط در یک نقطه واقع در بی نهایت یکدیگر را قطع می کنند. این یک تعمیم تصور هندسی برای نقطه تقاطع است. حال لازم است معنای دقیقی به این گفته مبهم ببخشیم به طوری که با نقطه های بی نهایت بتوان دقیقاً همان طور رفتار کرد که با نقطه های واقع در صفحه و فضا. همان طور که در اول بحث به آن اشاره شد یعنی تعریف یک «سلول بنیادی» حجم در فضای غیراقلیدسی. به عبارت دیگر می خواهیم همه قواعد مربوط به رفتار نقطه ها، خط ها، صفحه ها و... حتی وقتی این عناصر هندسی به صورت ذهنی و ایده آلی هستند، برقرار بماند. بدیهی است این «قواعد» نیز در ارتباط با تعمیم عناصر تشکیل دهنده فضای تصویری، ساختار منطقی مربوط به فضا را پیدا خواهند کرد و «توپولوژی» متناسب با این «تحلیل موضعی» تعریف خواهد شد. ۵ و ۶

و این زیربنای هندسه «مانیفولد» است که زنده یاد دکتر هشترودی رساله دکترای خود را زیر نظر «الیی کارتان»۷ ریاضیدان نامدار فرانسوی در متن آن تنظیم و تدوین کرده است.

««مانیفولد»ها فضاهایی هستند که به طور موضعی شبیه IRnاند. مانند کره زمین که به صورت یک کره است ولی به طور موضعی در اطراف خود ما، سطح و شبیه IR۲ است. روی این فضاها می توان محاسبه انجام داد. مثال های دیگری از این نوع فضاها عبارتند از فضاهای اقلیدسی، منحنی های هموارمانند دایره ها و بیضی ها و سطوح هموار و درIR۲ مانند کروی ها، بیضوی ها و هذلوی ها. یکی از خصوصیات مهم مانیفولدها محاسبه پذیری آنهاست. برای مثال کاربرد تئوری مانیفولد در هندسه شامل مطالعه خواصی مانند حجم و انحنا است. حجم ها با انتگرال گیری و انحناها با فرمول هایی مانند مشتق دوم محاسبه می شوند. برای تعمیم این حیطه محاسبه پذیری به مانیفولدها باید مفاهیم دیفرانسیل و انتگرال را روی مانیفولدها تعریف کنیم. کاربرد نظریه مانیفولدها در مکانیک کلاسیک شامل حل سیستم های معادلات دیفرانسیل روی مانیفولدها و کاربرد آن در گرایش عمومی شامل حل یک سیستم معادلات دیفرانسیل موضعی است.» ۸و این محاسبه پذیری در واقع همان وحدت فلسفی دو گرایش متضاد «اتصال» و «انفصال» در هندسه و جبر است که با طرح فضاهای غیراقلیدسی به صورت دستگاه های معادلات دیفرانسیلی تحت تبدیلات «لورنتز» با رشته مشتق های مراتب بالاتر به صورت مدل ریاضی مکانیک نسبیتی مطرح می شود؛ کاری که زنده یاد دکتر هشترودی در رساله دکترای خود در ۱۹۳۷ انجام داده است که نمونه بی نظیر و تاریخی گرایش شهودی در ریاضیات است.

و «شهود» در ریاضیات ریشه در پیوستگی منطق و ریاضیات دارد و منطق را که از دیرباز همچون وسیله یی برای اجتناب و احتراز از خطا تعریف می شود، تابعی از ریاضیات می داند. از دیدگاه شهودی، شمول سازمان های ریاضی همچون سازمان جبری یا سازمان توپولوژیک یا سازمان تحلیلی، کلی تر از سازمان منطقی است و همیشه در پی مجموعه یی- و کلیتی- از استنباط و استدلال و استنتاج و نقد اصول پذیرفته شده ناسازگار با این مجموعه- که الزاماً مطرح می شود- به ساختار تازه یی از یک فضای تعمیم یافته ریاضی می رسد که برخلاف نظر «اصولیون» از اصول شناخته شده یی نتیجه نشده است. از آنجا که در مقوله منطق ریاضی مثلاً «هزار» مورد مثبت برای اثبات درستی یک فرض کافی نیست، ولی فقط «یک» مورد منفی و متعارض برای رد آن کفایت می کند، نگرش «شهودی» پتانسیل تازه یی وارد مدار تفکر و تعقل می کند که به موجب آن کلیت و انسجام ارتباط منطقی اجزا مورد توجه قرار می گیرد و تا آنجا پیش می رود که به تعارض برخورد نکند. این یک مقوله معرفتی است که به تعبیری اپیستمولوژیک، زبان استدلالیون را قدرت و غنای بیشتری بخشیده و اصطلاح «پای چوبین و بی تمکین» را سخت بی اعتبار کرده است. مدل سازی امروز در ریاضیات یک امر شهودی است. بیان مجرد یک قانون در قالب علائم سمبلیک ریاضی، ویرایش منطقی ساختاری ترکیب اجزا. در یک کل و بازگشت یک کل منسجم با تحلیل روابط به تعریف دقیق جایگاه اجزا یعنی حرکت مداوم و پیوسته از کل به جزء و از جزء به کل. تعبیر ساده و ابتدایی «توپولوژی» به «جای- شناسی» ناظر به همین معنا است.۹ ساختار مدل سازی یک فرآیند منطقی است که در تعمیم های جدید به اصولی می رسد که در میان واقعیت های متحقق فیزیکی و کیفیت روابط به تعبیری خیلی هم مجرد نیست اما قابل لمس و درک و تصور است. «هشترودی» یک «ریاضی- فیزیک»دان است. یک عالم شهودی است.۱۰

هادی سودبخش

شاگرد و گردآورنده آثار هشترودی

پی نوشت ها؛

۱- در فیزیک نقطه مادی به صورت «نقطه هندسی جرم دار» تعریف می شود.

۲- «تصویر» هر یک از این فضاها «فرم» انتزاعی ویژه خود را طرح و قانونمندی و توپولوژی «موضوعی» خود را تعریف می کند.

۳- کنفرانس سی و هفتم ریاضی، شهریور۸۵، تبریز، آذرشهر

۴- وام گرفته از کتاب «عدد، زبان علم» نوشته توبیاس دانتزیک، ترجمه مهندس عباس گرمان، نشر دهخدا ۱۳۴۲... و آن بار و آنجا «در بهشت اعداد فیثاغورثی» و در ماقبل تاریخ میلادی. و بعدها فروریزی اعتبار مطلق های طب جالینوسی و هیئت بطلمیوسی و مکانیک نیوتنی و مکانیک نسبیتی، مکانیک کوانتایی و...و... بنگر که تا چه حد است مقام آدمیت.

۵- دکتر هشترودی در مقاله یی از کتاب دانش و هنر، توپولوژی را «علم تحلیل موضعی» نامیده است.

۶- برای توضیح «نقطه بی نهایت» از کتاب ریاضیات چیست؟ تالیف ریچارد کورانت و هربرت رابینز، ترجمه سیامک کاظمی، چاپ نشر نی، بخش ۴، فصل توازی و بی نهایت، صفحه ۱۹۳ استفاده شده است.

۷- ELiecanta [۱۸۹۶-۱۹۵۱]

۸- این بخش با همکاری گروه ریاضی مجتمع آموزشی و فرهنگی دکتر هشترودی تهیه و تنظیم شده است.

۹- «هشترودی» در چاپ دوم «دانش و هنر» در مقاله «از اندیشه مجرد ریاضی تا هستی های متحقق و واقعیت فیزیکی»، «توپولوژی را «علم تحلیل موضعی» معنی کرده است. ص ۱۷۹

۱۰- «شهود» ترجمه «Intuition» فرنگی است. معنی آن شناسایی روشن و مستقیم و بی درنگ حقیقت است و دریافتن آن نیازی به تجربه و استدلال ندارد. ریشه این حس درونی به ویژه در احساسات قرار دارد. Intuition را در کتاب های روانشناسی به «شعور باطنی» نیز ترجمه کرده اند. بعضی از فیلسوفان ایرانی آن را «اندریافت» نیز گفته اند.

کتاب؛ حساب و دیفرانسیل و انتگرال چیست؟ تالیف و.و سویر، ترجمه دکتر محمدحسن مهدوی اردبیلی، چاپ اول ۱۳۶۸، مرکز نشر دانشگاهی تهران، فصل دهم، شهود و منطق، ص ۱۱۲.