قانون اعداد بزرگ

قانون اعداد بزرگ احتمالاً معروفترین نتیجه در نظریهٔ احتمالات است که برای توصیف نتیجهٔ تکرار یک آزمایش به دفعات زیاد به کار می‌رود. بر طبق این قانون هر قدر تعداد دفعات تکرار …

قانون اعداد بزرگ احتمالاً معروفترین نتیجه در نظریهٔ احتمالات است که برای توصیف نتیجهٔ تکرار یک آزمایش به دفعات زیاد به کار می‌رود. بر طبق این قانون هر قدر تعداد دفعات تکرار آزمایش بیشتر شود، میانگین نتایج به امید ریاضی آن نزدیک‌تر می‌شود. [۱]

به عنوان یک مثال، وقتی یک تاس شش‌وجهی را یک بار بریزیم، یکی از عددهای ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ یا ۶ به دست خواهد آمد. اگر این آزمایش را تکرار کنیم، هر دفعه یکی از این اعداد به دست می‌آیند و اگر تاس نااریب باشد، احتمال دیده شدن این اعداد با هم برابر است. در نتیجه امید ریاضی عددی که با ریختن هر بار تاس به دست می‌آید طبق این فرمول:

۳.۵=۱+۲+۳+۴+۵+۶/۶

برابر با ۳٫۵ است. طبق قانون اعداد بزرگ، هرگاه آزمایش ریختن تاس را به دفعات زیاد تکرار کنیم، میانگین اعدادی که به دست می‌آید تدریجأ به ۳٫۵ نزدیک خواهد شد. [۲] به طور مثال می‌توان به آزمایش پرتاب سکه اشاره کرد.همانطور که میدانیم نتیجه این آزمایش توزیع برنولی دارد .اگر فقط یک بار آزمایش را انجام دهیم احتمال رو آمدن سکه برابر ۱/۲ است، طبق قانون اعداد بزرگ اگر تعداد پرتاب ها زیاد باشد نسبت تعداد رو آمدن ها به تعداد کل پرتاب ها به ۱/۲ میل میکند [۳] مشخص است که اختلاف تعداد رو ها و پشت ها با زیاد شدن تعداد آزمایش ها افزایش پیدا میکند .پس احتمال کوچک بودن اختلاف روها و پشت ها به سمت عدد صفر میل میکند.هم چنین می‌توان نتیجه گرفت که نسبت اختلاف رو ها و پشت ها به تعداد کل پرتاب ها نیز به سمت صفر میروند .از این حقیقت در میابیم که با وجود رشد اختلاف بین تعداد رو ها و پشت ها در انجام این آزمایش به دفعات زیاد، سرعت این رشد از سرعت افزایش تعداد کل پرتاب ها کم تر است . [۴]

میتوان قانون اعداد بزرگ را به صورت خلاصه شده به شکل زیر نوشت:

lim/(n->infinity) * (x۱+x۲+...+xn)/n=u

[۵] که در ان x۱ , x۲ ... دنباله ای از متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان و میانگین u هستند.

تاریخچه

(Gerolamo Cardano (۱۵۰۱-۱۵۷۶ جیرولامو کاردانو ریاضی دان ایتالیایی بدون اثبات ریاضی بر این باور بود که دقت نتایج تجربی در امار با افزایش تعداد دفعات آزمایش بیشتر میشود [۶] این فرضیه بعد ها تحت عنوان قانون اعدد بزرگ اثبات شد و مورد توجه قرار گرفت .حالت خاصی از این قانون برای متغیرهای برنولی برای نخستین بر توسط Jacob Bernoulli ژاکوب برنولی اثبات شد . [۷] او این قانون را قضیه طلایی نامید، ولی بعد ها با نام قانون اعداد بزرگ مشهور شد .در سال ۱۸۳۵ سیمون دنیز پواسون Siméon Denis Poisson این قانون را با نام قانون اعداد بزرگ توضیح داد.هم اکنون این قضیه با هر دو نام ذکر شده شناخته میشود . [۸] بعد از برنولی و پواسون ریاضیدانان دیگری مانند مارکف، چبیشف، بورل و کولموگرف برای بهبود این تعریف و اثبات آن تلاش کردند و در نهایت الکساندر کینچین برای هر متغیر تصادفی دلخواه آن را اثبات کرد.این تلاشها منجر به پیدایش دو حالت مختلف از این قانون شد . این دو قسمت عبارت است از قانون ضعیف و قوی. قانون ضعیف و قوی اعداد بزرگ دو قانون متفاوت نیستند .در بلکه این دو قانون از دو دیدگاه متفاوت موضوع همگرایی احتمال وقتی تعداد دفعات آزمایش زیاد است به مقدار میانگین را توضیح میدهند .همچنین میتوان قانون ضعیف را از قانون قوی نتیجه گرفت. [۹]

منابع

۱. Introduction to Probability Models,Sheldon M.Ross,tenth edition

۲. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=۴۳۷۱۸۵۹۲۵

۳. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=۴۳۷۱۸۵۹۲۵

۴. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=۴۳۷۱۸۵۹۲۵

۵. شلدون راس، "مبانی احتمال" مترجمین : دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی

۶. Mlodinow, L. The Drunkard۰۳۹;s Walk. New York: Random House, ۲۰۰۸. p. ۵۰.

۷.Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, ۱۷۱۳, Chapter ۴, (Translated into English by Oscar Sheynin)

۸. Hacking, Ian. (۱۹۸۳) "۱۹th-century Cracks in the Concept of Determinism"

۹. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_theory&action