میرون شولز و رابرت مرتون

نوبلیست های اقتصاد جوایز نوبل در سال ۱۹۹۷

فیشر بلاک، رابرت مرتون و میرون شولز با توسعه روش جدید تعیین ارزش مشتقات کمک شایانی به پیشرفت اقتصاد کردند. کار نوآورانه آنها در اوایل دهه ۱۹۷۰ مساله طولانی در اقتصاد مالی را حل نمود و روش‌های جدیدی را در ارتباط با ریسک مالی در نظریه و عمل فراهم نمود.

روش‌های آنها به رشد سریع بازارها برای مشتقات طی دو دهه گذشته کمک شایانی کرده است. فیشر بلاک در سال ۱۹۹۵ در گذشت، از این رو جایزه نوبل سال ۱۹۹۷ به مرتون و شولز تعلق گرفت. شولز متولد سال ۱۹۴۱ در ایالت اونتاریوی کانادا است و در سال ۱۹۶۸ دکترای اقتصاد خود را از دانشگاه شیکاگو دریافت کرد وبه تدریس و تحقیق در دانشگاه‌های آمریکا مشغول شد. مرتون نیز در سال ۱۹۴۴ در نیویورک متولد شد و دکترای خود را ابتدا در رشته ریاضی دنبال کرد، ولی بعد به اقتصاد تغییر رشته داد.

کار مرتون، شولز و بلاک فراتر از قیمت‌گذاری مشتقات بوده است. در حالی که اغلب اوراق اختیاری با ماهیت مالی هستند، اما برخی قراردادها و تصمیمات اقتصادی را نیز می‌توان به شکل اختیارات نگاه کرد، برای مثال سرمایه‌گذاری در ساختمان و ماشین‌آلات ممکن است فرصت‌ها(اختیاراتی) را برای توسعه به بازارهای جدید در آینده فراهم کند. از این‌رو روش‌شناسی آنها برای حیطه گسترده‌ای از کاربردها قابل استفاده بوده است.

● تاریخچه ارزش‌گذاری اختیار

اوراق اختیار به عاملان اجازه می‌دهد تا در مقابل ریسک یک‌جانبه محافظت شوند، در واقع این تنها حق است و تعهدی ندارد که قلم مورد نظر را در قیمت از پیش تعیین شده خرید و فروش کند. برای مثال یک شرکت واردکننده انگلیسی پیش‌بینی می‌کند که پرداخت‌های زیادی در واحد‌دلار آمریکا در آینده باید انجام دهد، از این رو خود را در برابر ریسک یک‌جانبه زیان‌های بزرگ ناشی از کاهش ارزش پوند انگلیس با خرید اوراق اختیار برای‌دلار در بازار اختیارهای ارز خارجی محافظت کند.

تلاش‌ها برای ارزش‌گذاری اختیارها و سایر مشتقات تاریخچه طولانی دارد. یکی از اولین کارها برای تعیین ارزش اختیارات سهام توسط لوئیس باچلیر در سال ۱۹۰۰ در سوربن صورت گرفت. فرمول او مبتنی بر مفروضات غیرواقع‌بینانه‌ای بود که نرخ بهره صفر و فرآیندی با قیمت منفی را در بر می‌گرفت. این فرمول بعدا توسط اسپرنکل، بونس و ساموئلسون بهبود یافت. آنها فرض منفی شدن قیمت‌ها و صفر بودن نرخ بهره را اصلاح کردند. آنها همچنین فرض کردند که سرمایه‌گذاران ریسک‌گریز بوده و برای ریسک مبلغ اضافه‌ای درخواست می‌کنند. تلاش برای ارزش‌گذاری تا قبل از سال ۱۹۷۳ ارزش انتظاری اختیار سهام را در زمان انقضا تعیین می‌کرد و آن را برای سال مورد نظر تنزیل می‌کرد. چنین رویکردی مستلزم آن است که مبلغ اضافی برای ریسک نیز تنزیل گردد، چراکه ارزش اختیار به مسیر ریسکی قیمت سهام از روز ارزش‌گذاری تا تاریخ سر رسید بستگی دارد.

اما تعیین مبلغ اضافی برای ریسک چندان هم شفاف نیست. این مبلغ نه تنها باید منعکس‌کننده ریسک برای تغییرات در قیمت سهام باشد، بلکه بایستی نگرش سرمایه‌گذار به ریسک را نیز در نظر بگیرد. این مسائل توسط شولز، مرتون و بلاک با این شناخت که ضرورتی برای استفاده از هیچ مبلغ اضافه‌ای برای ریسک در ارزش‌گذاری نیست، حل گردید. این بدان مفهوم نیست که این مبلغ حذف می‌شود، بلکه در قیمت سهام ترکیب نمی‌شود.

این ایده را می‌توان به‌صورت ساده زیر توضیح داد. برای مثال اوراق اختیار برای خرید سهم معینی در قیمت ۱۰۰‌دلار در سه ماه را در نظر بگیرید. واضح است که ارزش این اختیار به قیمت جاری سهام بستگی دارد، هر چه قیمت سهام بالاتر باشد این احتمال وجود دارد که در سه ماه فراتر از ۱۰۰‌دلار رود.

فرمول برای ارزش‌گذاری اختیار بایستی دقیقا تعیین کند چطور ارزش اختیار به قیمت جاری سهام بستگی دارد. میزان ارزش اختیار که با تغییر در قیمت جاری سهام تغییر می‌کند معروف به دلتا است. فرض کنید که وقتی قیمت جاری سهام ۲‌دلار بالا (پایین) رود، ارزش اختیار ۱‌دلار افزایش (کاهش) می‌یابد. یعنی دلتا برابر نیم است. همچنین فرض کنید که سرمایه‌گذار دارای پرتفوی سهامی است که می‌خواهد در برابر ریسک تغییرات در قیمت سهام آن را محافظت کند. برای افزایش‌های کوچک در قیمت سهام، سود سرمایه‌گذار با پرتفوی بدون ریسک در سهام همانند خسارتی است که از اختیارات متحمل می‌شود و بالعکس. با توجه به اینکه پرتفوی سرمایه‌گذار بدون ریسک است، بازدهی آن باید برابر اوراق خزانه سه ماهه بدون ریسک باشد و اگر‌ غیر‌این باشد، معاملات آربیتراژ برای حذف سودهای بدون ریسک صورت خواهد گرفت.

با تغییرات در قیمت سهام در طول زمان و نزدیک شدن به سررسیدها، دلتای اختیار نیز تغییر می‌کند. به منظور حفظ پرتفوی سهام – اختیار بدون ریسک لازم است که سرمایه‌گذار ترکیب پرتفو را تغییر دهد. مرتون و شولز فرض کردند که چنین مبادله‌ای می‌تواند به طور مداوم و بدون هزینه معاملات صورت ‌گیرد. شرط اینکه بازدهی پرتفوی سهام – اختیار بدون ریسک به نرخ حالت بدون ریسک در هر نقطه از زمان برسد، اشاره ضمنی به معادله دیفرانسیل جزئی دارد که راه‌حل فرمول بلاک-شولز برای اختیار است:

بر طبق فرمول فوق، ارزش اختیار به اختلاف بین قیمت انتظاری سهام (جمله اول سمت راست) و هزینه انتظاری (جمله دوم) بستگی دارد. در صورتی که قیمت جاری سهام، نوسان قیمت سهام، نرخ بهره بدون ریسک بالا باشد و زمان سررسید طولانی‌تر و قیمت اوج پایین‌تر و احتمال اعمال اختیار بالاتر باشد (این احتمال تحت بی‌تفاوتی به ریسک با تابع توزیع نرمال استاندارد ارزیابی می‌شود) ارزش اختیار بالا خواهد رفت.

تمامی پارامترها به جز زیگما در معادله قابل مشاهده است و آن هم باید از داده‌های بازار تخمین زده شود. در مقابل، اگر قیمت اختیار معلوم باشد، می‌توان فرمول را برای تخمین زیگما حل کرد.

فرمول قیمت‌گذاری اختیار بعد از بلاک و شولز نامگذاری شد، چون آنها نخستین افراد در استخراج آن بودند. آنها نتایج خود را بر مبنای مدل قیمت‌گذاری دارایی سرمایه‌ای قرار دادند. آنها برای کار روی مقاله ۱۹۷۳ به شدت تحت تاثیر مرتون بودند. البته مرتون تعمیم‌های مهمی را اندیشید که تعادل بازار را برای ارزش‌گذاری اختیار لازم ندانست و تنها عدم وجود فرصت‌های آربیتراژ را کافی دانست. روشی که در مثال بالا توضیح داده شد دقیقا در شرایط عدم وجود آربیتراژ است که به ارزش‌گذاری سایر انواع مشتقات نیز تعمیم می‌یابد.

مقاله ۱۹۷۳ مرتون نیز فرمول بلاک-شولز و برخی تعمیم‌ها از قبیل نرخ بهره احتمالی را در خود داشت. فرمول قیمت‌گذاری اختیار راه‌حل مساله‌ای هفتاد ساله بود و از اهمیت علمی خاصی برخوردار است. اهمیت اصلی کار مرتون و شولز به نقش نظری و کاربردی روش تحلیل آنها بازمی‌گردد. این اهمیت به قیمت‌گذاری اوراق مشتقه و ارزش‌گذاری در سایر موراد نیز گسترش یافت.

۲) قیمت‌گذاری مشتقات

روشی که در اینجا توضیح داده شد برای قیمت‌گذاری ابزارهای مشتقات بسیار مهم بوده است. شولز و مرتون از پیشگامان قیمت‌گذاری اختیار بودند و این کار در طی دهه‌های گذشته با سرعت روز افزونی به پیش رفته است.

اختیارات برای ابزارهای‌ غیر‌از سهام به فرمول‌های دیگری منجر شد که به صورت عددی قابل حل هستند. البته همان روش برای تعیین ارزش اختیارات پول رایج، نرخ بهره و اوراق آتی و غیره به کار رفته است. برخی مفروضات اولیه و تا حدی محدود‌کننده فرمول بلاک-شولز بعدا کنار گذاشته شد. نرخ بهره در قیمت‌گذاری اختیار مدرن به صورت تصادفی بوده و نوسان قیمت سهام می‌تواند به طور تصادفی در طول زمان تغییر کند، هزینه‌های معاملاتی نیز می‌تواند مثبت باشد و فرآیند قیمت را می‌توان مدیریت کرد. تمامی این بسط‌ها مبتنی بر روش اولیه تحلیل بلاک، شولز و مرتون بوده است.

۳) بدهی‌های شرکتی

بلاک، مرتون و شولز در ۱۹۷۳ دریافتند که سهام می‌تواند به صورت اختیار بر کل شرکت تفسیر گردد (عنوان مقاله آنها در سال ۱۹۷۳ قیمت‌گذاری اختیار و بدهی‌های شرکتی بود).

از این‌رو روش مذکور می‌تواند برای تعیین ارزش سهام استفاده شود و در صورتی که سهام‌ها مبادله نشوند، می‌تواند مهم باشد. چون سایر بدهی‌های شرکت نیز ابزارهای مشتقه هستند می‌توان با همان روش ارزش‌گذاری شوند. بدین ترتیب بلاک، مرتون و شولز بنیان رضایت بخشی را برای نظریه منسجم قیمت تمامی بدهی‌های شرکت بنا کردند. روش‌شناسی بلاک-مرتون و شولتز در تلاش‌های اخیر برای طراحی قراردادهای مالی بهینه مهم بوده و جنبه‌های دیگر قانون ورشکستگی را نیز به حساب آورده است.

۴) ارزیابی سرمایه‌گذاری

در انتخاب بین گزینه‌های مختلف سرمایه‌گذاری، انعطاف‌پذیری عامل کلیدی مهمی است. ماشین‌آلات ممکن است در انعطاف‌پذیری برای توقف و شروع تولید، استفاده از منابع مختلف انرژی و غیره متفاوت باشند. روش‌شناسی بلاک، مرتون، شولز اغلب قادر است تصمیمات سرمایه‌گذاری آگاهانه در چنین مواردی را تسهیل کند.

۵) ضمانت‌ها و قراردادهای بیمه

بسیاری از انواع قراردادها و ضمانت‌های بیمه می‌تواند با استفاده از نظریه مدرن قیمت‌گذاری اختیار ارزش‌گذاری شوند. فرض کنید که شرکت بیمه می‌خواهد ارزش قرارداد بیمه‌ای را تعیین کند که صاحبان اوراق را در برابر ریسک ورشکستگی شرکت صادر‌کننده اوراق حمایت کند. ارزش چنین قرارداد بیمه‌ای را می‌توان با اختیاری بر اوراق قرضه‌ای با قیمت اوج برابر با ارزش اسمی اوراق تقریب زد. اگر ارزش اوراق به زیر قیمت اوج، کاهش یابد صاحب اوراق حق دارد اوراق را در آن قیمت بفروشد. از این رو در عمل، شرکت بیمه نه تنها با شرکت‌های دیگر رقابت می‌کند، بلکه با بازار اختیار نیز در حال رقابت است.

۶) بازارهای کامل

روش‌هایی که توسط مرتون (۱۹۹۷) توسعه یافت، برای گسترش نظریه پویای بازارهای مالی به کار گرفته شد. در دهه ۱۹۵۰ آرو و دبرو نشان دادند که اگر به‌اندازه حالت‌های آینده در دنیا اوراق تضمینی مستقل وجود داشته باشد، چطور افراد یا شرکت‌ها می‌توانند ریسک‌های خاص خود را حذف کنند. البته این ممکن است مستلزم اوراق زیادی باشد. این یافته‌ها برای نشان دادن این امر توسعه یافتند که تعداد اندکی ابزارهای مالی برای حذف ریسک کافی هستند حتی اگر تعداد حالت‌های آینده بسیار زیاد باشد.

۷) اهمیت کاربردی و سایر کارهای علمی

مبادله اختیارات در سال ۱۹۷۳ یک ماه قبل از انتشار فرمول قیمت‌گذاری اختیار رواج یافت و تا سال ۱۹۷۵ مبادله‌کنندگان از این فرمول برای محاسبه قیمت و حمایت از موقعیت‌های اختیارات خود استفاده می‌کردند. امروزه،‌ هزاران سرمایه‌گذار و تاجر از این فرمول هر روز برای ارزش‌گذاری اختیارات سهام خود در بازارهای دنیا استفاده می‌کنند. چنین کاربرد سریع و گسترده‌ای از نتایج نظری در اقتصاد جدید بود. به خصوص آنکه ریاضیات استفاده شده در استخراج فرمول بخشی از آموزش رایج کارشناسان یا اقتصاددانان دانشگاهی در آن زمان نبود.

توانایی استفاده از اختیارات و سایر مشتقات در مدیریت ریسک‌ها کاملا ارزشمند است. برای مثال، مدیران از اختیارات برای کاهش ریسک افت‌های بزرگ در قیمت‌های سهام استفاده می‌کنند و شرکت‌ها از اختیارات و سایر ابزارهای مشتقات برای کاهش ریسک بهره می‌جویند. بانک‌ها و سایر موسسات از روش بلاک-مرتون-شولز برای توسعه و تعیین ارزش محصولات جدید استفاده می‌کنند. موسسات مالی، اقتصاددانان، ریاضی‌دانان و کارشناسان کامپیوتر را استخدام می‌کنند تا از دانش آنها در تحقیقات کاربردی نظریه اختیار استفاده کنند.

علاوه بر موارد عنوان شده، مرتون در تحلیل تصمیمات مصرف و سرمایه‌گذاری افراد در زمان پیوسته کارهای برجسته‌ای انجام داده است. او مدل CAPM مالی را به مدلی پویا بسط داد و فرمول قیمت‌گذاری اختیار تعمیم یافته را در جهات مختلف بهبود داد. شولز هم اثر سود پرداختی در قیمت سهام را مطالعه کرد. او همچنین در تخمین عملی پارامتر b (پارامتری که ریسک سهام را در مدل CAPM و کارآیی بازار می‌سنجد) کارهایی را انجام داد.

به طور خلاصه مرتون و شولز به همراه بلاک فرمول پشرویی را در ارزش‌گذاری اختیار سهام توسعه دادند و روش آنها از اهمیت زیادی در ارزش‌گذاری اقتصادی در بسیاری زمینه‌ها برخوردار بوده و ابزارهای مالی نوینی را تولید کرده و مدیریت کارآتری از ریسک در جامعه را موجب شده است.

مهدی محمدی

میرون شولز

منبع

http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates /۱۹۹۷